Terminale S - Fonctions trigonométriques Rappels de trigonométrie Nous rappelons ici quelques formules et propriétés de la classe de première qui nous seront utiles dans la suite du cours.

Valeurs remarquables

$t$ $0$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$
$\sin(t)$ 0 $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 1
$\cos(t)$ 1 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ 0
$\tan(t)$ 0 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 1 $\sqrt{3}$ ×

Ces valeurs sont à connaître par cœur, elles seront d'ailleurs largement utilisées dans le chapitre sur les nombres complexes.

Pour tous réels $x$ :
• $\cos(-x)$ $=$ $\cos(x)$
• $\sin(-x)$ $=$ $-\sin(x)$
Pour tous réels $x$ :
$\cos^2 x + \sin^2 x$ $=$ $1$.
Pour tous réels $a$ et $b$ on a :
• $\cos(a+b)$ $=$ $\cos a\cos b - \sin a\sin b$
• $\sin(a+b)$ $=$ $\cos a\sin b + \cos b\sin a$
Pour tous réels $a$ et $b$ on a :
• $\cos a\cos b$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( \cos(a-b)+\cos(a+b) \right)$

• $\sin a\sin b$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( \cos(a-b)-\cos(a+b) \right)$

• $\sin a\cos b$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( \sin(a+b)+\sin(a-b) \right)$ Preuve
On utilise les deux propriétés précédentes. Nous ne démontrerons que la première formule, les deux autres se traitant de manière similaire.

$\cos(a-b)+\cos(a+b)$ $ =$ $\cos a\cos (-b) - \sin a\sin (-b) + \cos a\cos b - \sin a\sin b$
$ =$ $\cos a\cos b + \sin a\sin b + \cos a\cos b - \sin a\sin b$
$ =$ $2\cos a\cos b$
Ainsi on a bien : $\cos a\cos b$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( \cos(a-b)+\cos(a+b) \right)$. -- Formules de linéarisation
Pour tout réel $x$ :
$\bullet$ $\cos^2 x$ $=$ $\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$
$\bullet$ $\sin^2 x$ $=$ $\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ Preuve
Pour tout réel $x$ on a :
$\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left(1+\cos(2x)\right)$
$ = $ $\dfrac{1}{2}\left( 1+\cos(x+x) \right)$
$ = $ $\dfrac{1}{2}\left( 1+\cos^2 x - \sin^2 x \right)$
Or, $\cos^2 x + \sin^2 x =1$, c'est-à-dire $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Ainsi :

$\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ $=$ $\dfrac{1}{2}\left( 1 + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) \right)$
$ = $ $\dfrac{1}{2}\times 2\cos^2 $
$ = $ $\cos^2 x.$

La deuxième formule se démontre de manière similaire.
Mesure des angles et cercle trigonométrique Mesure des angles Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles. L'unité la plus ancienne est le degré, mais la plus utilisée est le radian.
Ces deux unités sont reliées par la formule : $180$ degrés $=$ $\pi$ radians. $90^{\circ} = $ $\dfrac{\pi}{2}$ radians

$45^{\circ} =$ $\dfrac{\pi}{4}$ radians

$60^{\circ} =$ $\dfrac{\pi}{3}$ radians

$30^{\circ} =$ $\dfrac{\pi}{6}$ radians

$120^{\circ} =$ $\dfrac{2\pi}{3}$ radians

$315^{\circ} =$ $\dfrac{7\pi}{4}$ radians ou $-\dfrac{\pi}{4}$ radians à $2\pi$ près.
Cercle trigonométrique On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ du plan. Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Ce cercle s'appelle cercle trigonométrique.
Pour tout point $M$ de $\mathcal{C}$, il existe un unique réel $t\in$ $[0;2\pi[$ tel que les coordonnées de $M$ soient $(\cos(t);\sin(t))$.
Déplacer le point $M$
Question.
Pour tout point $M$ de $\mathcal{C}$, existe-t-il un unique réel $t$ tel que les coordonnées de $M$ soient $(\cos(t);\sin(t))$ ?

Réponse.
Le point $M(1;0)$ est tel que $x_M=\cos(0)$ et $y_M=\sin(0)$, mais également $x_M=\cos(2\pi)$ et $y_M=\sin(2\pi)$.
En fait, pour chaque point $M$ du cercle on peut trouver une infinité de réels $t$ tel que $x_M=\cos(t)$ et $y_M=\sin(t)$, ces réels étant égaux modulo $2\pi$.
L'unicité est en fait bien obtenue si on précise que le réel $t$ doit appartenir à $[0;2\pi[$.
Fonction cosinus et fonction sinus Définitions
La fonction qui à tout nombre réel $t$, associe le nombre $\cos(t)$ est appelée fonction cosinus.
$\cos:t\longmapsto\cos(t).$
Déplacer le point M pour tracer la courbe de la fonction cosinus
On construit les points d'abscisse $t$ et d'ordonnée $\cos(t)$ du graphique précédent

La fonction qui à tout nombre réel $t$, associe le nombre $\sin(t)$ est appelée fonction sinus.
$\sin:t\longmapsto\sin(t).$
Déplacer le point M pour tracer la courbe de la fonction sinus
On construit les points d'abscisse $t$ et d'ordonnée $\sin(t)$ du graphique précédent
Propriétés -- Périodicité
Les fonctions cosinus et sinus sont $2\pi$-périodiques.

Pour tout réel $x$, $\cos(x+2\pi)=$ $\cos(x)$,

Pour tout réel $x$, $\sin(x+2\pi)=$ $\sin(x)$. -- Parité
Pour tout réel $t$, $\cos(-t)=$ $\cos(t)$.
On dit que la fonction cosinus est paire.

Pour tout réel $t$, $\sin(-t)=$ $-\sin(t)$.
On dit que la fonction sinus est impaire.
Déplacer le point M pour observer les propriétés de parités : les cosinus sont égaux, alors que le sinus sont opposés.

$\circ$ La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

$\circ$ La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère.
L'axe des ordonnées est bien axe de symétrie de la courbe de la fonction cosinus
L'origine du repère est centre de symétrie de la courbe de la fonction sinus
 -- Déphasage
Pour tout $t\in\mathbb{R}$, $\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=$ $\sin(t)$.
On observe une translation horizontale de vecteur $\frac{\pi}{2}\vec{i}$ entre les deux courbes

Preuve
On utilise la formule $\cos (a+b)$ $=$ $\cos a\cos b- \sin a\sin b$ avec $a=t$ et $b=-\dfrac{\pi}{2}$, on se rappelle de plus que $\cos(-\pi/2)$ $=$ $0$ et $\sin (-\pi/2)$ $=$ $-1$.

On a donc :

$\cos(t-\frac{\pi}{2})$ $=$ $\cos t\cos(-\pi/2) - \sin(t)\sin(-\pi/2)$ $=$ $\sin(t)$.
Pour tout réel $x$, $-1\leq\cos(x)\leq$ 1$.

Pour tout réel $x$, $-1\leq\sin(x)\leq$ 1$.
Dérivation -- Dérivation

$\circ$ Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $(\cos(x))'=$ $ -\sin(x)$.

$\circ$ Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $(\sin(x))'= $ $\cos(x)$.
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Les fonctions $\cos u$ et $\sin u$ sont dérivables et :
$\bullet$ $(\cos u)'$ $=$ $-u'\sin u$,
$\bullet$ $(\sin u)'$ $=$ $u'\cos u$. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\cos(x^2+1)$. La fonction $f$ est de la forme $\cos u$, avec pour tout réel $x$, $u(x)=x^2+1$ et $u'(x)=2x$.
Ainsi, pour tout réel $x$ :
$f'(x)$ $=$ $-u'(x)\cos(u(x))$ $=$ $-2x\sin(x^2+1)$.
Signe et variations

Les fonctions sinus et cosinus étant $2\pi$-périodiques, on peut réduire leur étude à un intervalle de longueur $2\pi$.

Déplacer le point M pour observer les signes de $\cos(t)$ et de $\sin(t)$ en fonction de la valeur de $t$
$x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$ $\cos(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$ 2 $x$ $0$ $\pi$ $2\pi$ $\sin(x)$ $+$ 0 $-$

Ces signes se retrouvent généralement en traçant sur son brouillon un cercle trigonométrique.
On peut de plus déduire de deux-ci le signe des fonctions dérivées donc les variations des fonctions sinus et cosinus.
Étude de la fonction tangente Définition -- Fonction tangente
La fonction tangente est la fonction notée $\tan$, définie pour tout $x\neq$ $\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ par :
$\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.$
Son ensemble de définition est : $\mathbb{R}$\$\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} $. La fonction cosinus s'annulant pour $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $\dfrac{5\pi}{2}$ etc. l'ensemble de définition de la fonction tangente est bien $\mathbb{R}$\$\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} $.
Propriétés géométriques
La fonction tangente est $\pi$-périodique. Preuve de la propriété.
Pour $x\in\mathbb{R}$\$\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} $ :
$\tan(x+\pi)$ $=$ $\dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}$ $=$ $\dfrac{-\sin(x)}{-\cos(x)}$ $=$ $\tan(x)$ $_\square$.
Déplacer le point M pour observer qu'après une rotation de $\pi$ radians les cosinus et sinus sont opposés.
Il suffit donc d'étudier la fonction tangente sur un intervalle de longueur $\pi$. Pour des raisons de valeurs interdites nous choisirons l'intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[$.
La fonction tangente est impaire. Preuve de la propriété.
L'ensemble de définition de la fonction tangente est symétrique par rapport à $0$, et pour tout $x$ de celui-ci, en utilisant la parité des fonctions sinus et cosinus, on obtient :
$\tan(-x)$ $=$ $\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}$ $=$ $\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}$ $=$ $-\tan(x)$.

Conséquence graphique de ces propriétés.

$\circ$ Comme $\tan$ est $\pi$-périodique sa représentation graphique est invariante par translation de vecteur $k\pi\vec{i}$, $k\in\mathbb{Z}$.

$\circ$ Comme $\tan$ est impaire sa représentation graphique dans un repère orthonormé est symétrique par rapport à l'origine.
Étude de la fonction
La fonction tangente est dérivable sur $\mathbb{R}$\$\left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} \right\} $ et :
$(\tan(x))'=$ $\dfrac{1}{\cos^2(x)}$ $=$ $1+\tan^2(x)$.
pour tout $x$ de l'ensemble de définition.

Preuve de la propriété.
Puisque pour tout $x$ de son ensemble définition $\tan(x)$ $=$ $\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$, nous utilisons la formule de dérivation d'un quotient.

$\tan'(x)$ $=$ $\dfrac{\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)}{\cos^2(x)}$
$=$ $\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
$=$ $\dfrac{1}{\cos^2(x)}$.

Ou encore :
$\tan'(x)$ $=$ $\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
$=$ $\dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$
$=$ $1+\tan^2(x)$.


La fonction tangente est strictement croissante sur chaque intervalle de son ensemble de définition. Preuve de la propriété
Pour tout $x$ de l'ensemble de défintion $\tan^2(x)\geq0$.
Ainsi, $\tan'(x)= 1+\tan^2(x)>0$, d'où le résultat.

Tableau de variation complété

$\tan(0)$ $=$ $\dfrac{\sin(0)}{\cos(0)}$ $=$ $\dfrac{0}{1}$ $=$ $0$
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\pi/2^-}\tan(x)}$ $=$ $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow\pi/2^-}\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} }$ $=$ $+\infty$

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\pi/2^+}\tan(x)}$ $=$ $-\infty$

Les limites s'obtiennent par quotient de limites, et grâce au signe de la fonction cosinus autour de $\dfrac{\pi}{2}$.
Représentation graphique
On observe les asymptotes verticales d'équation $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, ainsi que la $\pi$-périodicité