DM n°5 ∼ Trigonométrie Dans la figure ci-dessous les triangles $ABC$ et $ACD$ sont rectangles respectivement en $B$ et $C$.
Le point $H$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$ et on note $I$ l'intersection entre $(DH)$ et $(AB)$.
On note $x$ et $y$ les mesures respectives des angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{CAD}$.

1. Montrer que $\dfrac{AB}{AD} = \cos(x)\cos(y)$.


2. Exprimer $\cos(x+y)$ en fonction de $AH$ et $AD$.


3. Montrer que $\dfrac{AH}{AD} = \dfrac{AB}{AD}-\dfrac{HB}{AD}$.


4. Construire la parallèle à $(AB)$ passant par $C$. Elle coupe $(DH)$ en $J$.
5. Exprimer la mesure des angles : $\widehat{AIH}$, $\widehat{DIC}$ et $\widehat{JDC}$ en fonction de $x$ et $y$. En déduire la valeur de $\dfrac{HB}{CD}$.


6. Montrer que : $\dfrac{1}{AD} = \dfrac{\sin(y)}{CD}$.


7. En déduire que : $\dfrac{HB}{AD} = \sin(x)\sin(y)$.


8. En utilisant tous les résultats obtenus précédemment démontrer que : $$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y).$$


9. En se replaçant dans le triangle $ABC$, et en utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que : $$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1.$$
10. En utilisant les deux formules précédentes, démontrer que $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$.
11. En déduire l'expression de $\cos^2(x)$ en fonction de $\cos(2x)$.