DM ∼ Aire sous une courbe Nous savons calculer les aires de certaines figures simples : rectangles, triangles, trapèzes etc. La formule de l'aire d'un disque est connue mais assez difficile à démontrer, alors que pour les figures précédentes tout découle de l'aire du rectangle que l'on découpe de manière appropriée.
Question : Comment trouver l'aire entre une courbe représentative de fonction et l'axe des abscisses ?

Nous allons nous intéresser ici à la courbe représentative de la fonction carrée sur l'intervalle $[0;1]$. On note $\mathcal{A}$ l'aire entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.

Première approximation

1. Nous allons, pour commencer, trouver un majorant de $\mathcal{A}$.
   1. Trouver l'aire de chacun des deux rectangles de la figure ci-contre et trouver ainsi un majorant de $\mathcal{A}$.
   2. Dans la question précédente, nous avons trouver des rectangles qui se trouvent « au dessus » de la courbe et dont les sommets en haut à droite sont des points de la courbe.
      Trouver par une méthode équivalente, en considérant des rectangles qui se trouvent « au dessous » de la courbe, une minoration de $\mathcal{A}$.
2. L'encadrement précédent n'est pas assez précis, nous allons essayer de faire mieux.
   1. Dans le repère ci-dessous, construire quatre rectangles « au dessus » de la courbe uniformément répartis sur $[0\,;1]$, dont les sommets supérieurs droits sont des points de la courbe.
   2. Déterminer ensuite un ecandrement plus précis que celui de la question 1.

À l'aide d'un algorithme

1. On utilise dans cet question un algorithme qui généralise la méthode précédente en utilisant $10$ rectangles.
   Compléter la fonction aireInf pour qu'elle retourne la minoration obtenue par la même méthode que aireSup. def f(x): return x**2 def aireSup(): x = 0 pas = 1.0/10 aire = 0 for i in range(0,10): x = x+pas aire = aire+pas*f(x) return aire def aireInf(): x = 0 print(aireSup()) print(aireInf())
2. On souhaite écrire un algorithme dans lequel la fonction aireSup prend comme paramètre un nombre $n$ qui correspond au nombre de rectangles de la méthode utilisée.
   Compléter le code ci-dessous dans ce but. def f(x): return x**2 def aireSup(n): x = pas = 1.0/ aire = 0 for i in range( , ): x = aire = return aire print(aireSup(2)) print(aireSup(4)) print(aireSup(10)) print(aireSup(100))
3. En utilisant ce dernier algorithme avec des valeurs de $n$ très grandes, quelle conjecture peut-on émettre sur la valeur de $\mathcal{A}$ ?

À l'aide de deux suites Soit $n$ un entier naturel non nul. On partage l'intervalle $[0\,;1]$ en $n$ intervalles de même longueur, en le découpant aux points d'abscisses : $$0;\frac{1}{n};\frac{2}{n};\cdots;\frac{k}{n};\cdots;\frac{n-1}{n};\frac{n}{n}=1.$$ On construit à partir de ces points $n$ rectangles supérieurs et $n$ rectangles inférieurs encadrant la courbe représentative de la fonction carrée avec la méthode étudiée précédemment.
On note $i_n$ la somme des aires des rectangles inférieurs et $s_n$ celle des rectangles supérieurs. Nous avons alors que : $$i_n\leq\mathcal{A}\leq s_n.$$

1. Démontrer que $\displaystyle{i_n=\frac{1}{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}k^2}$ et $\displaystyle{s_n=\frac{1}{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)^2}$.
2. On rappelle que : $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}$ et $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{(2n+1)n(n-1)}{6}}$.
   En déduire que $\displaystyle{i_n=\frac{(2n-1)(n-1)}{6n^2}}$ et $\displaystyle{s_n=\frac{(2n+1)(n+1)}{6n^2}}$.


3. Trouver alors les limites de ces deux suites et en déduire la valeur de $\mathcal{A}$.