DM ∼ Mesurer des distances sur Terre 1Les horizons On considère dans cette partie que la terre est sphérique et que son rayon RR vaut approximativement 63716\,371 km.
On se pose la question de la distance maximale à laquelle peut se porter le regard d'une personne, se situant à une hauteur hh, à la surface de la Terre.
Dans le graphique ci-dessous les échelles ne sont pas respectées pour des raisons de lisibilité. Les yeux de la personne sont situés en BB et son regard porte jusqu'en AA. Le point CC est le centre de la Terre et le point SS est le point d'intersection entre le niveau 00 et la droite (CB)(CB).
S
B
A
C
On a CS=CA=RCS = CA = R, SB=hSB=h, et la droite (BA)(BA) est tangente au cercle en AA.
  1. Montrer que pour réel h≥0h\geq0, AB=h2+12742hAB = \sqrt{h^2+12\,742h}.
  2. Lorsqu'une personne se tient à 22 mètres au-dessus du niveau de la mer, à quelle distance porte son regard ? Même question pour une hauteur de 200200 m.
  3. On s'intéresse maintenant à l'angle α=CBA^\alpha=\widehat{CBA}.
    1. Montrer que cos⁡(α)=h2+12742h6371+h\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt{h^2+12\,742h}}{6\,371+h}.
    2. Déterminer lim⁡h→+∞cos⁡(α)\displaystyle{\lim_{h\rightarrow+\infty}\cos(\alpha)}.
    3. En déduire la position limite du point AA sur la Terre par rapport au point SS.
  4. Sur le schéma suivant est modélisé au point MM le sommet du Monte-Padru, point culminant de la Corse, dont l'altitude est de 23902\,390 m. Le point NN représente la hauteur des yeux d'un observateur dans la ville de Nice.
    On estime que la distance NMNM vaut 190190 km et que la droite (NM)(NM) est tangente au cercle représentant la Terre en AA.
    S
    N
    M
    C
    A
    Quelle est la hauteur minimale où doit se situer l'observateur à Nice pour qu'il puisse voir le sommet du Monte-Padru ?
2La triangulation Dans la figure ci-dessous, les angles α\alpha, β\beta et γ\gamma du triangle ABCABC sont aigus. On note BCBC == aa, AC=bAC = b et AB=cAB = c.
A
B
C
α
β
γ
  1. Construire la hauteur [CH][CH] et en appliquant les formules de trigonométrie, démontrer que : asin⁡(α)\dfrac{a}{\sin(\alpha)} == bsin⁡(β)\dfrac{b}{\sin(\beta)}.
    En déduire l'expression de bb en fonction de aa, α\alpha et β\beta.
  2. Dans la figure ci-dessous on a :
    A1
    A2
    A3
    A4
    A5
    A6
    Déterminer la longueur A5A6A_5A_6.
  3. En utilisant les résultats de cette partie, expliquer l'utilité de la carte suivante établie en 1744.