DM ∼ Mesurer des distances sur TerreLes horizons
On considère dans cette partie que la terre est sphérique et que son rayon $R$ vaut approximativement $6\,371$ km.
On se pose la question de la distance maximale à laquelle peut se porter le regard d'une personne, se situant à une hauteur $h$, à la surface de la Terre.
Dans le graphique ci-dessous les échelles ne sont pas respectées pour des raisons de lisibilité. Les yeux de la personne sont situés en $B$ et son regard porte jusqu'en $A$. Le point $C$ est le centre de la Terre et le point $S$ est le point d'intersection entre le niveau $0$ et la droite $(CB)$.
On a $CS = CA = R$, $SB=h$, et la droite $(BA)$ est tangente au cercle en $A$.
Montrer que pour réel $h\geq0$, $AB = \sqrt{h^2+12\,742h}$.
Lorsqu'une personne se tient à $2$ mètres au-dessus du niveau de la mer, à quelle distance porte son regard ? Même question pour une hauteur de $200$ m.
On s'intéresse maintenant à l'angle $\alpha=\widehat{CBA}$.
Montrer que $\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt{h^2+12\,742h}}{6\,371+h}$.
En déduire la position limite du point $A$ sur la Terre par rapport au point $S$.
Sur le schéma suivant est modélisé au point $M$ le sommet du Monte-Padru, point culminant de la Corse, dont l'altitude est de $2\,390$ m. Le point $N$ représente la hauteur des yeux d'un observateur dans la ville de Nice.
On estime que la distance $NM$ vaut $190$ km et que la droite $(NM)$ est tangente au cercle représentant la Terre en $A$.
Quelle est la hauteur minimale où doit se situer l'observateur à Nice pour qu'il puisse voir le sommet du Monte-Padru ?
La triangulation
Dans la figure ci-dessous, les angles $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ du triangle $ABC$ sont aigus. On note $BC$ $=$ $a$, $AC = b$ et $AB = c$.
Construire la hauteur $[CH]$ et en appliquant les formules de trigonométrie, démontrer que : $\dfrac{a}{\sin(\alpha)}$ $=$ $\dfrac{b}{\sin(\beta)}$.
En déduire l'expression de $b$ en fonction de $a$, $\alpha$ et $\beta$.
