Tspé ∼ Exercices du livre ∼ Concentration / Loi des grands nombres Exercice 9 p 493
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu=50$.
Pour tout réel $\delta$, laquelle de ces probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet-elle de majorer ?
  1. $P( |X-50|=\delta )$
  2. $P( |X-50|\geq\delta )$
  3. $P( |X-50|\leq\delta )$
  4. $P( |X| )\leq50$

Exercice 10 p 493
$X$ est une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.
Laquelle de ces inégalités obtient-on avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
  1. $P( |X-\mu| \geq 2\sigma ) \geq 0,05$
  2. $P( |X-\mu| \geq 2\sigma ) \geq 0,25$
  3. $P( |X-\mu| \geq 2\sigma ) \leq 0,25$
Exercice 11 p 493
Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $\mu=250$ et pour variance $V=125$.
  1. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, établir que : $P(|X-250|\geq 20)\leq0,312\,5$.
  2. En déduire alors que : $P(|X-250|<20)\geq0,687\,5$.
  3. Interpréter cette dernière inégalité.

Exercice 12 p 493
La roue équilibrée ci-dessous est partagée en cinq secteurs identiques numérotés de $1$ à $5$.
On fait tourner la roue 100 fois de suite, $X$ est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le $1$ est sorti.
  1. Donner la loi de probabilité de $X$.
  2. Déteminer l'espérance et la variance de $X$.
  3. Justifier que pour tout réel $\delta>0$, $P(|X-20|\geq\delta)\leq\dfrac{16}{\delta^2}$.
  4. En déduire que la probabilité de l'évènement « $X$ prend une valeur en dehors de l'intervalle $[11\,;29]$ est inférieur ou égale à $0,16$ ».

Exercice 14 p 493
Un service de livraison constate que $5$ % des colis livrés sont abîmés.
Pendant sa journée de travail, Clodovic livre $100$ colis. on note $X$ le nombre de colis abîmés parmi ces $100$ colis.
    1. Donner la loi de probabilité de $X$.
    2. Déterminer l'espérance $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ de $X$.
    3. Établir que : $P(|X-5|\geq2\sigma)\leq0,25$.
  2. Avec le programme suivant, on réalise une simulation d'un échantillon de taille $n$ de la variable aléatoire $X$. from random import* from math import* def ecart(): x = 0 for k in range(100): a = random() if a < 0.05: x = x+1 d = abs(x-5) return d def echantillon(n): s = sqrt(4.75) y = 0 for j in range(n): if ecart()>=2*s: y = y+1 p = y/n return p Interpréter le résultat renvoyé par la fonction echantillon.
    1. Saisir le programme.
    2. Exécuter plusieurs fois print(echantillon(1000)). Commenter les résultats obtenus.
  4. Comparer les résultats obtenus par simulation avec celui donné par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercice 15 p 494
On lance un dé $n$ fois de suite. La variable aléatoire $X_n$ donne le numéro obtenu au $k$-ième lancer. On pose $M_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$.
Interpréter oralement la valeur prise par la variable aléatoire $M_n$.

Exercice 16 p 494
$X_1$, $X_2$, $\dots$, $X_n$ sont $n$ variables aléatoires indentiques et indépendantes d'espérance $\mu$.
On pose $M_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$.
Expliquer pourquoi, pour $n$ assez grand : $P(|M_n-\mu|\geq0,1 )\leq10^{-3}$.

Exercice 19 p 494
Un chapeau contient cinq cartes, deux de couleur rouge, trois de couleur noire. On tire au hasard une carte du chapeau.
  1. La variable aléatoire $X$ donne $1$ si la carte tirée est rouge, $0$ si elle est noire.
    1. Donner la loi de probabilité de $X$.
    2. Déterminer l'espérance et la variance de $X$.
  2. On réalise $n$ tirages. $X_1$, $X_2$, $\dots$, $X_n$ donne les $n$ valeurs ($0$ ou $1$) obtenues et on pose $M_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$.
    1. Justifier l'inégalité $P(|M_n-0,4|\geq0,1)\leq\dfrac{24}{n}$.
    2. Démontrer que : $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}P(|M_n-0,4|\geq0,1)=0}$.
      Interpréter ce résultat.
    3. Déterminer un entier naturel $N$ tel que pour tout entier naturel $n\geq N$, $P(|M_n-0,4|\geq0,1)\leq10^{-5}$.
  3. Recopier et compléter : « Pour $n\geq\dots$, $M_n$ donne une valeur de $0,4$ à une $\dots$ de $0,1$ avec un $\dots$ de $10^{-5}$ ».

Exercice 27 p 497
On écrit au hasard une suite de $n$ chiffres. $X$ est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le chiffre $5$ apparaît.
    1. Donner la loi de probabilité de $X$.
    2. Déterminer l'espérance et la variance de $X$.
  2. $F$ est la variable aléatoire qui donne la fréquence du chiffre $5$ dans l'écriture.
    1. Justifier que $F=\dfrac{X}{n}$.
    2. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $F$.
    3. Démontrer que la variance de $F$ est de $\dfrac{0,09}{n}$.
    4. Que dire de la variance de $F$ lorsque $n$ prend des valeurs de plus en plus grandes.
    1. Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable aléatoire $F$.
    2. En déduire que $P(0,05 < F < 0,15)\geq 1-\dfrac{36}{n}$.
    3. Déterminer $n$ tel que la fréquence d'apparition du chiffre $5$ soit comprise entre $5$ % et $15$ % avec une probabilité supérieure à $0,9$.