Tspé ∼ Exercices du livre pour les fonctions trigonométriques Exercice 18
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sin(2x)$.
Exercice 19
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sin\left( \dfrac{3}{2}x \right)$.
Exprimer $f\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right)$ en fonction de $x$ et démontrer que la fonction $f$ est périodique de période $\dfrac{4\pi}{3}$.
Exercice 26
Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur $I$.

1. $g(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$ 5 $I=]0\,;+\infty[$
2. $h(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}$ 5 $I=]0\,;\pi[$

Exercice 27
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\sin^2(x)+2\sin(x)$.

1. Montrer que pour tout $x$, $f'(x)=2(\sin(x)+1)\cos(x)$.
2. 1. Expliquer pourquoi $f'(x)$ est du signe de $\cos(x)$ sur $[0\,;\pi]$.
      En déduire le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\pi]$.
   2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$.

Exercice 49
$g$ est la fonction définie sur $[-\pi\,;\pi]$ par : $g(x)=\dfrac{1}{\cos(x)+2}$.

1. Déterminer la fonction dérivée de $g$.
2. Étudier le signe de $g'(x)$ sur $[-\pi\,;\pi]$.
3. Dresser le tableau de variations de $g$ $[-\pi\,;\pi]$.

Exercice 76
Résoudre chaque inéquation dans $[-\pi\,;\pi]$.

1. $2\cos(x)-1\leq0$
2. $\sqrt{2}\sin(x)+1>0$

Exercice 77
Résoudre dans $[-\pi\,;\pi]$ l'équation : $$(2\sin(x)+\sqrt{3})(\cos^2(x)-1)=0.$$
Exercice 79
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x-\cos(x)$.

1. Montrer que $f$ est une fonction croissante sur $\mathbb{R}$.
2. Démontrer que l'équation $x-\cos(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left[0 \,;\dfrac{\pi}{2} \right]$.
   Donner l'arrondi au centième de $\alpha$.