Tspé ∼ Exercices du livre pour les fonctions trigonométriques Exercice 18
Déterminer la fonction dérivée de la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=sin(2x)g(x)=\sin(2x).
Exercice 19
ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=sin(32x)f(x)=\sin\left( \dfrac{3}{2}x \right).
Exprimer f(x+4π3)f\left(x+\dfrac{4\pi}{3}\right) en fonction de xx et démontrer que la fonction ff est périodique de période 4π3\dfrac{4\pi}{3}.
Exercice 26
Dans chaque cas, déterminer la fonction dérivée de la fonction définie sur II.
  1. g(x)=sin(x)xg(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}       I=]0;+[I=]0\,;+\infty[
  2. h(x)=1sin(x)h(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}       I=]0;π[I=]0\,;\pi[

Exercice 27
ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=sin2(x)+2sin(x)f(x)=\sin^2(x)+2\sin(x).
  1. Montrer que pour tout xx, f(x)=2(sin(x)+1)cos(x)f'(x)=2(\sin(x)+1)\cos(x).
    1. Expliquer pourquoi f(x)f'(x) est du signe de cos(x)\cos(x) sur [0;π][0\,;\pi].
      En déduire le signe de f(x)f'(x) sur [0;π][0\,;\pi].
    2. Dresser le tableau de variations de ff sur [0;π][0\,;\pi].

Exercice 49
gg est la fonction définie sur [π;π][-\pi\,;\pi] par : g(x)=1cos(x)+2g(x)=\dfrac{1}{\cos(x)+2}.
  1. Déterminer la fonction dérivée de gg.
  2. Étudier le signe de g(x)g'(x) sur [π;π][-\pi\,;\pi].
  3. Dresser le tableau de variations de gg [π;π][-\pi\,;\pi].

Exercice 76
Résoudre chaque inéquation dans [π;π][-\pi\,;\pi].
  1. 2cos(x)102\cos(x)-1\leq0
  2. 2sin(x)+1>0\sqrt{2}\sin(x)+1>0

Exercice 77
Résoudre dans [π;π][-\pi\,;\pi] l'équation : (2sin(x)+3)(cos2(x)1)=0.(2\sin(x)+\sqrt{3})(\cos^2(x)-1)=0.
Exercice 79
ff est la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xcos(x)f(x)=x-\cos(x).
  1. Montrer que ff est une fonction croissante sur R\mathbb{R}.
  2. Démontrer que l'équation xcos(x)=0x-\cos(x)=0 admet une unique solution α\alpha dans l'intervalle [0;π2]\left[0 \,;\dfrac{\pi}{2} \right].
    Donner l'arrondi au centième de α\alpha.