2nde ∼ Interrogation n°4 Exercice 1

0,0

Dans le repère ci-dessus les points sont à coordonnées à entières.

Donner les coordonnées des points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ .

A(0\,;2)

;

B(2\,;0)

;

C(-3\,;-1)

;

D(-1\,;-3)

Déterminer les longueur des segments $[AC]$ , $[AB]$ et $[BC]$ .

Correction

$AC^2$	$=$	$(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$
	$=$	$(-3-0)^2+(-1-2)^2$
	$=$	$9+9$
	$=$	$18$

Ainsi,

AC=\sqrt{18}

=

\sqrt{9\times2}

=

\sqrt{9}\times\sqrt{2}

=

3\sqrt{2}

$AB^2$	$=$	$(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2$
	$=$	$(2-0)^2+(0-2)^2$
	$=$	$4+4$
	$=$	$8$

Ainsi,

AB=\sqrt{8}

=

\sqrt{4\times2}

=

\sqrt{4}\times\sqrt{2}

=

2\sqrt{2}

$BC^2$	$=$	$(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2$
	$=$	$(-3-2)^2+(-1-0)^2$
	$=$	$25+1$
	$=$	$26$

Ainsi,

BC=\sqrt{26}

Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?

Correction

D'après les calculs précédents on a :

AC^2+AB^2=26=BC^2

.
Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

ABC

est rectangle en

A

Calculer les coordonnées du point $P$ milieu de $[BC]$ .

Correction

x_P=\dfrac{x_B+x_C}{2}

=

\dfrac{2+(-3)}{2}

=

-\dfrac{1}{2}

y_P=\dfrac{y_B+y_C}{2}

=

\dfrac{0+(-1)}{2}

=

-\dfrac{1}{2}

.

Le point

P

a donc pour coordonnées :

\left(-\dfrac{1}{2} \,; -\dfrac{1}{2} \right)

Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ? Un rectangle ? Un carré ?

Correction

Calculons les coordonnées du milieu de

[AD]

\left( \dfrac{x_A+x_D}{2} \,; \dfrac{y_A+y_D}{2} \right)

=

\left( \dfrac{0+(-1)}{2} \,; \dfrac{2+(-3)}{2} \right)

=

\left(-\dfrac{1}{2} \,; -\dfrac{1}{2} \right)

.

Ainsi, les diagonales de

ABCD

se coupent en leur milieu, c'est donc un parallélogramme.

Or, un parallélogramme qui possède un angle droit (ici en

A

d'après la question 3) est un rectangle.

ABCD

est donc un rectangle, mais il n'est pas un carré car

AB\neq AC

Exercice 2 Dans un repère du plan, les points

A

B

C

sont tels que

A(-3\,;2)

B(4\,;1)

C(-2\,;3)

Calculer les coordonnées du point $M$ tel que $A$ soit le milieu de $[BM]$ .

Correction

On a :

$x_A$	$=$	$\dfrac{x_B+x_M}{2}$
$-3$	$=$	$\dfrac{4+x_M}{2}$
$-3\times2$	$=$	$4+x_M$
$-6$	$=$	$4+x_M$
$-6-4$	$=$	$x_M$
$x_M$	$=$	$-10$ .

De plus :

$y_A$	$=$	$\dfrac{y_B+y_M}{2}$
$2$	$=$	$\dfrac{1+y_M}{2}$
$2\times2$	$=$	$1+y_M$
$4$	$=$	$1+y_M$
$4-1$	$=$	$y_M$
$y_M$	$=$	$3$ .

Le point

M

a pour coordonnées

(-10\,;3)

Calculer les coordonnées du point $N$ , symétrique de $C$ par rapport à $A$ .

Correction

N

est le symétrique de

C

par rapport à

A

alors

A

est le milieu de

[CN]

. Ainsi :

$x_A$	$=$	$\dfrac{x_C+x_N}{2}$
$-3$	$=$	$\dfrac{-2+x_N}{2}$
$-3\times2$	$=$	$-2+x_N$
$-6$	$=$	$-2+x_N$
$-6+2$	$=$	$x_N$
$x_N$	$=$	$-4$ .

De plus :

$y_A$	$=$	$\dfrac{y_C+y_N}{2}$
$2$	$=$	$\dfrac{3+y_N}{2}$
$2\times2$	$=$	$3+y_N$
$4$	$=$	$3+y_N$
$4-3$	$=$	$y_N$
$y_N$	$=$	$1$ .

Le point

N

a pour coordonnées

(-4\,;1)

Quelle est la nature du quadrilatère $BCMN$ ?

Correction

Les diagonales de

BCMN

ont le même milieu

A

, ainsi ce quadrilatère est un parallélogramme.

Exercice 3 Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chacune des questions, une seule des trois réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse apporte

1

point.Une réponse fausse ou une réponse multiple à une question enlève

0,25

point. Une absence de réponse n'enlève, ni n'ajoute de point.
Le numéro de la question suivi de la lettre de la réponse sont à indiquer sur la copie et non sur le sujet.

Soit

f

la fonction affine définie pour tout réel

x

par

f(x)=1,25x+1

.
On note

d

la représentation graphique de la fonction

f

dans un repère orthonormé du plan

(O\,;I\;J)

.
On considère de plus le point

B

de coordonnées

(12\,;0)

.

Question 1 : Trouver parmi les points ci-dessous celui qui appartient à

d

$(17\,;18,9)$
$\left(\dfrac{1}{3}\,; \dfrac{17}{12}\right)$
$(100\,;125)$

Correction

Pour vérifier qu'un point appartient à

d

il faut regarder si son ordonnée est bien l'image de son abscisse par

f

.

Pour le premier point :

f(17)=1,25\times 17+1

=

22,25

\neq

18,9

. Donc ce point n'appartient pas à

d

.

Pour le deuxième point :

f\left( \dfrac{1}{3} \right)=1,25\times \dfrac{1}{3}+1

=

\dfrac{1,25}{3}+\dfrac{3}{3}

=

\dfrac{4,252}{3}

=

\dfrac{4,25\times4}{3\times4}

=

\dfrac{17}{12}

.
C'est donc ce point qui appartient à

d

.

Réponse b.

Question 2 : Parmi les trois graphiques ci-dessous trouver celui qui représente

d

Correction

L'ordonnée à l'origine de

f

est

1

mais vu que les trois graphiques passent par le point

(0\,;1)

cela ne nous permet pas d'éliminer une des propositions.
Par contre le cofficient directeur de

f

est

1,25

qui est positif, donc

f

est croissante sur

\mathbb{R}

. Ce ne peut donc être la réponse

b

.
On peut par contre calculer

f(2)

=

1,25\times2+1

=

3,5

. On voit que sur le graphique

c

l'image ne

2

n'est même pas visible et est donc au delà de

6

.
Ainsi, la réponse est la

a

Question 3 : Laquelle des propriétés ci-dessous est vraie ?

$OB=144$
Le point $B$ appartient au disque de centre $O$ et de rayon $11$ .
$x_B^2+y_B^2=144$

Correction

Cette question porte sur la distance

OB

$OB^2$	$=$	$(x_B-X_O)^2+(y_B-y_O)^2$
	$=$	$(x_B-0)^2+(y_B-0)^2$
	$=$	$x_B^2+y_B^2$
	$=$	$0^2+12^2$
	$=$	$144$ .

La bonne réponse est la

c

Question 4 : Parmi les points ci-dessous trouver celui qui est le projeté orthogonal de

B

sur

d

$\left( \dfrac{172}{41} \,; \dfrac{256}{41} \right)$
$(4,2 \,; 6,2)$
$(0\,;1)$

Correction

On sait que le projeté orthogonal

M

B

sur

d

minimise la distance entre

B

d

.
Il nous suffit donc de calculer les distances entre

B

et les trois points proposées et celle qui sera la plus petite nous donnera la bonne réponse.
Appellons

M\left( \dfrac{172}{41} \,; \dfrac{256}{41} \right)

N(4,2 \,; 6,2)

P(0\,;1)

ces trois points.
On peut directement faire les calculs à la calculatrice et regarder le plus petit résultat, vu qu'ici ce n'est pas nécessaire de trouver une valeur exacte.

BM^2=\left( \dfrac{172}{41}-0 \right)^2+\left( \dfrac{256}{41}-12 \right)^2

\approx

50,732

BN^2

=

(4,2-0)^2+(6,2-12)^2

\approx

51,28

BP^2

=

(0-0)^2+(1-12)^2

=

121

.

La bonne réponse est la

a