2nde ∼ DST n°5
  1. Donner la liste des diviseurs de 140.
    2. On a $140$ $=$ $2\times2\times5\times7$, ses diviseurs sont donc :
    $1$ ; $2$ : $4$ ; $5$ ; $7$ ; $10$ ; $14$ ; $20$ ; $28$ ; $35$ ; $70$ ; $140$.
  2. Donner la liste des diviseurs de 550.
    3. On a $550$ $=$ $2\times 5\times 5 \times 11$, ses diviseurs sont donc :
    $1$ ; $2$ ; $5$ ; $10$ ; $11$ ; $22$ ; $25$ ; $50$ ; $55$ ; $110$ ; $275$ ; $550$.
  3. Déterminer le plus grand diviseur commun à 140 et 550.
    4. Dans les listes précédentes le plus grand diviseur commun est $10$.
Donner 10 nombres premiers. $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ ; $13$ ; $17$ ; $23$ ; $29$ ; $31$ ; $37$ ; $41$ ; $43$ ; $47$ ; $53$ ; $59$ ; $61$ ; $67$ ; $71$ ; $73$ ; $79$ ; $83$ ; $89$ ; $97$ ; etc. L'algorithme des différences est une suite de calculs permettant d'obtenir le plus grand diviseur commun de deux entiers $a$ et $b$ donnés. On notera $pgcd(a,b)$ ce nombre.

On considère donc deux entiers naturels distincts $a$ et $b$ et on écrit le calcul donnant la différence entre $a$ et $b$.
On calcule ainsi $a-b$ si $a>b$, ou bien $b-a$ si $b>a$.
Notons $d$ cette différence.
Parmi les nombres $a$, $b$ et $d$, on effectue la différence entre les deux plus petits, et on réitère les opérations précédentes jusqu'à obtenir $0$.
On a alors que $pgcd(a,b)$ est la dernière différence non nulle obtenue.

Voici, par exemple, la succession d'opérations pour obtenir $pgcd(66,165)$.

$165-66$ $=$ $99$
$99-66$ $=$ $33$
$66-33$ $=$ $33$
$33-33$ $=$ $0$
Le plus grand diviseur commun entre $66$ et $165$ est donc $33$.
  1. Déterminer $pgcd(285,114)$ à l'aide de l'algorithme des différences.
    2. $285-114$ $=$ $171$
    $171-114$ $=$ $57$
    $114-57$ $=$ $57$
    $57-57$ $=$ $0$
    Ainsi, $pgcd(285,\,114)$ $=$ $57$.
  2. Écrire sous forme de fraction irréductible $\dfrac{285}{114}$.
    Les étapes seront détaillées et on utilisera $pgcd(285\,,114)$.
    3. Utilisons l'algorithme des différences pour déterminer $pgcd(285\,,114)$ :

    $285-114$ $=$ $171$
    $171-114$ $=$ $57$
    $114-57$ $=$ $57$
    $57-57=0$

    Ainsi $pgcd(285\,,114) = 57$.

    On a alors $285=5\times 57$ et $114=2\times57$, égalité qu'on utilise pour simplier la fraction considérée :

    $\dfrac{285}{114}$ $=$ $\dfrac{5\times57}{2\times57}$ $=$ $\dfrac{5}{2}$.
  3. Expliquer à l'aide de l'algorithme des différences pourquoi pour tout entier $n$ non nul $pgcd(n+1\,,n)=1$.
    4. On peut essayer d'appliquer l'algorithme des différences entre $n+1$ et $n$ :

    $n+1-n = 1$
    $n-1 = n-1$ (on ne peut pas faire de calculs supplémentaires ici)
    $(n-1)-1 = n-2$
    $(n-2)-1 = n-3$
    etc.
    On comprend alors que l'on va diminuer de $1$ en $1$ à chaque étape. La dernière étape sera donc de calculer $1-1=0$. Ainsi le $pgcd$ de $n+1$ et $n$ est bien $1$.
Pour tout entier naturel $n$ on définit le nombre $f(n)$ par : $$f(n)=(n+1)^2-n^2.$$
  1. Calculer $f(1)$, $f(2)$, $f(7)$ et $f(11)$. Que peut-on dire de la parité de chacun de ces nombres ?
    2. $f(1)=(1+1)^2-1^2$ $=$ $3$.
    $f(2)=(2+1)^2-2^2$ $=$ $5$.
    $f(7)=(7+1)^2-7^2$ $=$ $15$.
    $f(11)=(11+1)^2-11^2$ $=$ $23$.

    On remarque que ces nombres sont tous impairs.
  2. Montrer que pour tout entier $n$, $f(n)=2n+1$.
    Que peut-on en conclure ?
    3. $f(n)$ $=$ $(n+1)^2-n^2$
    $=$ $n^2+2n+1-n^2$
    $=$ $2n+1$.
    Ainsi, pour tout entier $n$, $f(n)$ est un nombre impair.
  3. Écrire $5$ comme différence entre les carrés de deux nombres consécutifs.
    Même question avec $153$.
    4. On a : $5$ $=$ $3^2-2^2$.

    Pour $153$ on va utiliser les questions précédentes.
    On a $153$ $=$ $2\times 76+1$, on applique donc la formule de $f(n)$ avec $n=76$.
    Ainsi : $153$ $=$ $(76+1)^2-76^2$ $=$ $77^2-76^2$.