2nde ∼ DST n°7 Nom - Prénom : ................................................................................... On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=-3x+5$.
  1. Déterminer les images par $f$ : $-1$ ; $\dfrac{1}{7}$.
    2. $f(-1)=-3\times(-1)+5=3+5$ $=$ $8$.

    $f\left( \dfrac{1}{7} \right)=-3\times\dfrac{1}{7}+5$ $=$ $-\dfrac{3}{7}+\dfrac{35}{7}$ $=$ $\dfrac{32}{7}$.
  2. Déterminer les éventuels antécédents de : $0$ ; $\sqrt{2}$.
    3. Antécédent(s) de $0$
    $f(x)$ $=$ $0$
    $-3x+5$ $=$ $0$
    $-3x$ $=$ $-5$
    $x$ $=$ $\dfrac{-5}{-3}$
    $x$ $=$ $\dfrac{5}{3}$.
    Le nombre $0$ possède un unique antécédent par $f$ : $\dfrac{5}{3}$.

    Antécédent(s) de $\sqrt{2}$
    $f(x)$ $=$ $\sqrt{2}$
    $-3x+5$ $=$ $\sqrt{2}$
    $-3x$ $=$ $\sqrt{2}-5$
    $x$ $=$ $\dfrac{\sqrt{2}-5}{-3}$
    $x$ $=$ $-\dfrac{\sqrt{2}-5}{3}$
    $x$ $=$ $\dfrac{5-\sqrt{2}}{3}$.
    Le nombre $\sqrt{2}$ possède un unique antécédent par $f$ : $\dfrac{5-\sqrt{2}}{3}$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R},$ par : $f(x)=x^{3}-x^{2}-4 x+4 .$ Sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ est donnée ci-dessus.
  1. Déterminer l'image de 0 par $f$.
    2. $f(0)=0^3-0^2-4\times0+4$ $=$ $4$.
  2. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
    $x$ $1$ $1,2$ $1,5$ $1,8$ $2$ $2,5$ $3$
    $f(x)$
    3. $x$ $1$ $1,2$ $1,5$ $1,8$ $2$ $2,5$ $3$
    $f(x)$ $0$ $-0,512$ $-0,875$ $-0,608$ $0$ $3,375$ $10$
  3. Compléter alors la partie droite de la courbe dans le repère ci-contre.
    4. Xmin = -3 Xmax = 3 Ymin = -2 Ymax = 7 traceG() traceX() traceY() function f(x){ return x*x*x-x*x-4*x+4 } trait = 0.5 couleur = gris for(var i=-3 ; i < 3 ; i = i+0.2){ segment([i,-2],[i,7]) } for(var j=-2 ; j < 7 ; j = j+0.2){ segment([-3, j],[3, j]) } trait = 2 couleur = bleu graphe(f,-3,1) trait = 1 couleur = rouge point([1.2,-0.512]) point([1.5,-0.875]) point([2,0]) point([2.5,3.375]) trait = 2 couleur = noir graphe(f,1,3)
  4. Déterminer graphiquement les antécédents de $1$.
    5. Xmin = -3 Xmax = 3 Ymin = -2 Ymax = 7 traceG() traceX() traceY() function f(x){ return x*x*x-x*x-4*x+4 } trait = 0.5 couleur = gris for(var i=-3 ; i < 3 ; i = i+0.2){ segment([i,-2],[i,7]) } for(var j=-2 ; j < 7 ; j = j+0.2){ segment([-3, j],[3, j]) } trait = 2 couleur = bleu graphe(f,-3,3) couleur = rouge segment([-3,1],[3,1]) trait = 1 point([-1.9,1]) trait = 2 segment([-1.9,1],[-1.9,0],[4,2]) texte("-1,9",[-2.0,-0.4]) trait = 1 point([0.7,1]) trait = 2 segment([0.7,1],[0.7,0],[4,2]) texte("0,7",[0.5,-0.4]) trait = 1 point([2.2,1]) trait = 2 segment([2.2,1],[2.2,0],[4,2]) texte("2,2",[2.1,-0.4]) Les antécédents de $1$ valent, à peu près : $-1,9$ ; $0,7$ ; $2,2$.
  5. Résoudre l'équation $f(x)=0$.
    6. L'équation $f(x)=0$ est équivalente à : $$x^3-x^2-4x+4=0.$$ C'est une équation du troisième degré que l'on ne sait pas résoudre algébriquement, on cherche donc ses solutions graphiquement. Xmin = -3 Xmax = 3 Ymin = -2 Ymax = 7 traceG() traceX() traceY() function f(x){ return x*x*x-x*x-4*x+4 } trait = 0.5 couleur = gris for(var i=-3 ; i < 3 ; i = i+0.2){ segment([i,-2],[i,7]) } for(var j=-2 ; j < 7 ; j = j+0.2){ segment([-3, j],[3, j]) } trait = 2 couleur = bleu graphe(f,-3,3) couleur = rouge trait = 1.5 point([-2,0]) point([1,0]) point([2,0]) On trouve trois solutions sur le graphique : $x=-2$; $x=1$ ; $x=2$.
  6. Résoudre l'équation $f(x)=-3$.
    7. Comme pour la question précédente l'équation $f(x)=-3$ est une équation du troisième degré que l'on ne sait pas résoudre.
    On cherche à la résoudre graphiquement, mais le graphique de l'énoncé ne contient pas les ordonnées jusqu'à $-3$. On visualise donc un nouveau graphique à la calculatrice, en réglant la fenêtre avec des ordoonées allant jusqu'à $-4$ par exemple. Xmin = -3 Xmax = 3 Ymin = -4 Ymax = 7 traceG() traceX() traceY() function f(x){ return x*x*x-x*x-4*x+4 } trait = 0.5 couleur = gris for(var i=-3 ; i < 3 ; i = i+0.2){ segment([i,-4],[i,7]) } for(var j=-4 ; j < 7 ; j = j+0.2){ segment([-3, j],[3, j]) } trait = 2 couleur = bleu graphe(f,-3,3) couleur = rouge segment([-3,-3],[3,-3]) trait = 1 point([-2.22,-3]) trait = 2 segment([-2.22,-3],[-2.22,0],[4,2]) texte("-2,2",[-2.5,0.2]) Graphiquement, on trouve donc que $x\approx-2,2$ est une solution de l'équation $f(x)=-3$.
  7. Dresser le tableau de signes de la fonction $f$.
    8. On dresse le tableau de signes sur l'intervalle donné par le graphique.
  8. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.
    1. Le nombre $-1$ est solution de $f(x)>0$.
      2. $f(-1)=6>0$. La proposition est vraie.
    2. Le point $(0\,;2)$ appartient à $\mathcal{C}_{f}$.
      3. $f(0)=4\neq2$. Le point $(0\,;2)$ n'est donc pas sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
      La proposition est fausse.
    3. L'équation $f(x)=-1$ ne possède aucune solution.
      4. Xmin = -3 Xmax = 3 Ymin = -3 Ymax = 7 traceG() traceX() traceY() function f(x){ return x*x*x-x*x-4*x+4 } trait = 0.5 couleur = gris for(var i=-3 ; i < 3 ; i = i+0.2){ segment([i,-4],[i,7]) } for(var j=-4 ; j < 7 ; j = j+0.2){ segment([-3, j],[3, j]) } trait = 2 couleur = bleu graphe(f,-3,3) couleur = rouge segment([-3,-1],[3,-1]) trait = 1 point([-2.07,-1])
      Graphiquement, nous voyons que l'équation $f(x)=-1$ admet au moins une solution.
      La proposition est fausse.
On considère le triangle isocèle rectangle $A B C$ ci-dessous, d'hypoténuse $[BC]$ tel que $AB=2$.
Le point $M$ se déplace sur le segment $[A B],$ et on note $x$ la distance $A M .$ Les points $P$ et $N$ appartiennent respectivement aux segments $[B C]$ et $[A C] .$ Les points $A, M, P$ et $N$ forment un rectangle. segment([-8,-8],[8,-8]) segment([-8,-8],[-8,8]) segment([-8,8],[8,-8]) transparence = 0.5 peinture = gris rectangle([-8,-2],10,6) texte("A",[-8.7,-8.7]) texte("C",[-8.7,8.2]) texte("B",[8.2,-8.7]) texte("N",[-9,-2.4]) texte("P",[2.5,-2.0]) texte("M",[1.8,-8.9])
  1. Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
    2. Le nombre $x$ correspond à la longueur du segment $[AM]$. Le point $M$ se déplaçant sur $[AB]$, de $A$ jusqu'à $B$, le nombre $x$ prend donc toutes les valeurs de $0$ jusqu'à la longueur de $[AB]$, à savoir $2$.
    Ainsi : $x\in[0\,;2]$.
  2. Justifier que $AN=2-x$
    3. Méthode 1
    Par construction le triangle $MBP$ est rectangle en $M$. L'angle $\widehat{MBP}$ mesure $45^{\circ}$ puisque $ABC$ est rectangle isocèle.
    Ainsi, le triangle $MBP$ est également rectangle isocèle et donc $MP=MB=AB-AM$ $=$ $2-x$.

    Méthode 2
    Le triangle étant isocèle on a $AC=AB$.
    De plus, puisque $AB=2$ et $AM=x$, on a $MB=2-x$.
    Par ailleurs, le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$ les droites $(MP)$ et $(AC)$ sont parallèles. On peut appliquer le théorème de Thalès et on a :
    $$\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{MP}{AC}.$$ Or, $BA=AC=2$ et donc : $$\dfrac{BM}{2} = \dfrac{MP}{2},$$ ce qui nous donne que $BM=MP$.
    Mais, $BM=2-x$ et $MP=AN$ car $AMPN$ est un rectangle. On a donc bien $AN=2-x$.
  3. On admet que l'aire du rectangle $A M P N$ est donnée par la formule : $A(x)=-x^{2}+2 x$.
    1. Montrer que $A(x)=x(2-x)$.
      2. On développe l'expression $x(2-x)$ :
      $x(2-x)=x\times2-x\times x$ $=$ $2x-x^2$ $=$ $-x^2+2x$ $=$ $A(x)$.
    2. Montrer également que $A(x)=1-(x-1)^{2}$.
      3. $1-(x-1)^{2}$ $=$ $1-(x^2-2x\times1+1^2)$
      $=$ $1-(x^2-2x+1)$
      $=$ $1-x^2+2x-1$
      $=$ $-x^2+2x$
      $=$ $A(x)$.
  4. Trouver la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du rectangle $A M P N$ est maximale. On expliquera le raisonnement suivi.
    5. Le nombre $(x-1)^{2}$ est positif en tant que carré.
    Ainsi, la différence $A(x)=1-(x-1)^{2}$ est maximale lorsque $(x-1)^2$ est minimale, c'est-à-dire lorsque $(x-1)^2=0$, donc pour $x=1$.
    Ainsi, l'aire de $A M P N$ est maximale pour $x=1$. Elle vaut alors $A(1)=1$.