2nde ∼ DST n°9
Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice 1
∼
Question de cours
Donner la définition d'une fonction impaire.
Correction
Soit
f
f
f
une fonction définie sur un ensemble
D
D
D
de
R
\mathbb{R}
R
, tel que pour tout
x
∈
D
x\in D
x
∈
D
, on a
−
x
∈
D
-x\in D
−
x
∈
D
.
la fonction
f
f
f
est dite impaire, si pour tout
x
∈
D
x\in D
x
∈
D
:
f
(
−
x
)
f(-x)
f
(
−
x
)
=
=
=
−
f
(
x
)
-f(x)
−
f
(
x
)
.
✕
Donner le sens de variations de la fonction carrée sur
R
\mathbb{R}
R
.
Correction
La fonction carrée est décroissante sur
]
−
∞
;
0
]
]-\infty;0]
]
−
∞
;
0
]
.
La fonction carrée est croissante sur
[
0
;
+
∞
[
[0;+\infty[
[
0
;
+
∞
[
.
✕
Exercice 2
On considère dans le graphique ci-dessous un point
A
A
A
et deux vecteurs
u
⃗
\vec{u}
u
et
v
⃗
\vec{v}
v
.
0,0
u
⃗
\vec{u}
u
v
⃗
\vec{v}
v
A
Construire le point
B
B
B
image de
A
A
A
dans la translation de vecteur
u
⃗
\vec{u}
u
.
Correction
0,0
u
⃗
\vec{u}
u
v
⃗
\vec{v}
v
A
u
⃗
\vec{u}
u
B
✕
Construire le point
C
C
C
tel que
A
C
→
=
u
⃗
+
v
⃗
\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}
A
C
=
u
+
v
.
Correction
0,0
u
⃗
\vec{u}
u
v
⃗
\vec{v}
v
A
u
⃗
\vec{u}
u
B
v
⃗
\vec{v}
v
C
✕
Construire le point
D
D
D
tel que
D
A
→
=
−
v
⃗
\overrightarrow{DA}=-\vec{v}
D
A
=
−
v
.
Correction
Si
D
A
→
=
−
v
⃗
\overrightarrow{DA}=-\vec{v}
D
A
=
−
v
alors
A
D
→
=
v
⃗
\overrightarrow{AD}=\vec{v}
A
D
=
v
.
0,0
u
⃗
\vec{u}
u
v
⃗
\vec{v}
v
A
u
⃗
\vec{u}
u
B
v
⃗
\vec{v}
v
C
−
v
⃗
-\vec{v}
−
v
D
✕
Justifier, en utilisant la relation de Chasles, que
D
C
→
=
u
⃗
\overrightarrow{DC}=\vec{u}
D
C
=
u
.
Correction
On a :
D
C
→
\overrightarrow{DC}
D
C
=
=
=
D
A
→
+
A
C
→
\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}
D
A
+
A
C
=
=
=
−
v
⃗
+
u
⃗
+
v
⃗
-\vec{v}+\vec{u}+\vec{v}
−
v
+
u
+
v
=
=
=
u
⃗
\vec{u}
u
.
✕
Démontrer alors que
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
est un parallélogramme.
Correction
Puisque
A
B
→
=
u
⃗
\overrightarrow{AB}=\vec{u}
A
B
=
u
et
D
C
→
=
u
⃗
\overrightarrow{DC}=\vec{u}
D
C
=
u
on a
A
B
→
=
D
C
→
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
A
B
=
D
C
et le quadrilatère
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
est bien un parallélogramme.
✕
Exercice 3
Démontrer que pour touts points
A
A
A
,
C
C
C
,
D
D
D
et
E
E
E
on a :
D
C
→
+
E
A
→
+
C
E
→
+
A
D
→
=
0
→
.
\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}.
D
C
+
E
A
+
C
E
+
A
D
=
0
.
Correction
On utilise ici, à plusieurs reprises, la relation de Chasles.
D
C
→
+
E
A
→
+
C
E
→
+
A
D
→
\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}
D
C
+
E
A
+
C
E
+
A
D
=
=
=
D
C
→
+
C
E
→
+
E
A
→
+
A
D
→
\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}
D
C
+
C
E
+
E
A
+
A
D
=
=
=
D
C
→
+
C
E
→
+
E
A
→
+
A
D
→
\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}}+\textcolor{blue}{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}}
D
C
+
C
E
+
E
A
+
A
D
=
=
=
D
E
→
+
E
D
→
\textcolor{red}{\overrightarrow{DE}}+\textcolor{blue}{\overrightarrow{ED}}
D
E
+
E
D
=
=
=
D
D
→
\overrightarrow{DD}
D
D
=
=
=
0
→
\overrightarrow{0}
0
.
✕
Exercice 4
Soit
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
un parallélogramme.
Montrer que
B
C
→
+
D
A
→
=
0
→
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}
B
C
+
D
A
=
0
.
Correction
0,0
A
B
C
D
On a
B
C
→
=
A
D
→
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}
B
C
=
A
D
puisque
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
est un parallélogramme.
Ainsi :
B
C
→
+
D
A
→
\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}
B
C
+
D
A
=
=
=
A
D
→
+
D
A
→
\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}
A
D
+
D
A
=
=
=
A
A
→
\overrightarrow{AA}
A
A
=
=
=
0
⃗
\vec{0}
0
.
✕
Montrer que
A
C
→
=
A
B
→
+
A
D
→
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}
A
C
=
A
B
+
A
D
.
Correction
On utilise ici à nouveau que
B
C
→
=
A
D
→
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}
B
C
=
A
D
.
D'après la relation de Chasles on a :
A
C
→
=
A
B
→
+
B
C
→
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
A
C
=
A
B
+
B
C
=
=
=
A
B
→
+
A
D
→
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}
A
B
+
A
D
.
✕
Montrer que
A
C
→
+
B
D
→
=
2
A
D
→
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}
A
C
+
B
D
=
2
A
D
.
Correction
On utilise ici la formule précédente pour remplacer
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
et la relation de Chasles pour
B
D
→
\overrightarrow{BD}
B
D
.
A
C
→
+
B
D
→
\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}
A
C
+
B
D
=
=
=
A
B
→
+
A
D
→
+
B
A
→
+
A
D
→
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}
A
B
+
A
D
+
B
A
+
A
D
=
=
=
A
B
→
+
B
A
→
+
A
D
→
+
A
D
→
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}
A
B
+
B
A
+
A
D
+
A
D
=
=
=
A
A
→
+
2
A
D
→
\overrightarrow{AA}+2\overrightarrow{AD}
A
A
+
2
A
D
=
=
=
0
→
+
2
A
D
→
\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{AD}
0
+
2
A
D
=
=
=
2
A
D
→
2\overrightarrow{AD}
2
A
D
.
✕