2nde ∼ DST n°9 Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4∼4 Question de cours

1. Donner la définition d'une fonction impaire.
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ de $\mathbb{R}$, tel que pour tout $x\in D$, on a $-x\in D$.
la fonction $f$ est dite impaire, si pour tout $x\in D$ : $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.
2. Donner le sens de variations de la fonction carrée sur $\mathbb{R}$.
• La fonction carrée est décroissante sur $]-\infty;0]$.
• La fonction carrée est croissante sur $[0;+\infty[$.

On considère dans le graphique ci-dessous un point $A$ et deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

1. Construire le point $B$ image de $A$ dans la translation de vecteur $\vec{u}$.
2. Construire le point $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$.
3. Construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{DA}=-\vec{v}$.
Si $\overrightarrow{DA}=-\vec{v}$ alors $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$.
4. Justifier, en utilisant la relation de Chasles, que $\overrightarrow{DC}=\vec{u}$.
On a :

$\overrightarrow{DC}$	$=$	$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}$
	$=$	$-\vec{v}+\vec{u}+\vec{v}$
	$=$	$\vec{u}$.

5. Démontrer alors que $ABCD$ est un parallélogramme.
Puisque $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ et $\overrightarrow{DC}=\vec{u}$ on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et le quadrilatère $ABCD$ est bien un parallélogramme.

Démontrer que pour touts points $A$, $C$, $D$ et $E$ on a : $$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}.$$ On utilise ici, à plusieurs reprises, la relation de Chasles.

$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}$	$=$	$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}$
	$=$	$\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}}+\textcolor{blue}{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}}$
	$=$	$\textcolor{red}{\overrightarrow{DE}}+\textcolor{blue}{\overrightarrow{ED}}$
	$=$	$\overrightarrow{DD}$
	$=$	$\overrightarrow{0}$.

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

1. Montrer que $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$.
On a $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ puisque $ABCD$ est un parallélogramme.
Ainsi :
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$ $=$ $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}$ $=$ $\overrightarrow{AA}$ $=$ $\vec{0}$.
2. Montrer que $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
On utilise ici à nouveau que $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.
D'après la relation de Chasles on a :
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $=$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
3. Montrer que $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}$.
On utilise ici la formule précédente pour remplacer $\overrightarrow{AC}$ et la relation de Chasles pour $\overrightarrow{BD}$.

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$	$=$	$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$
	$=$	$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}$
	$=$	$\overrightarrow{AA}+2\overrightarrow{AD}$
	$=$	$\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{AD}$
	$=$	$2\overrightarrow{AD}$.