2nde ∼ DST n°9 Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 1          Question de cours
  1. Donner la définition d'une fonction impaire.
  2. Correction
    Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD de R\mathbb{R}, tel que pour tout xDx\in D, on a xD-x\in D.
    la fonction ff est dite impaire, si pour tout xDx\in D : f(x)f(-x) == f(x)-f(x).
  3. Donner le sens de variations de la fonction carrée sur R\mathbb{R}.
  4. Correction
    • La fonction carrée est décroissante sur ];0]]-\infty;0].
    • La fonction carrée est croissante sur [0;+[[0;+\infty[.
Exercice 2 On considère dans le graphique ci-dessous un point AA et deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v}.
u\vec{u}
v\vec{v}
A
  1. Construire le point BB image de AA dans la translation de vecteur u\vec{u}.
  2. Correction
    u\vec{u}
    v\vec{v}
    A
    u\vec{u}
    B
  3. Construire le point CC tel que AC=u+v\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}.
  4. Correction
    u\vec{u}
    v\vec{v}
    A
    u\vec{u}
    B
    v\vec{v}
    C
  5. Construire le point DD tel que DA=v\overrightarrow{DA}=-\vec{v}.
  6. Correction
    Si DA=v\overrightarrow{DA}=-\vec{v} alors AD=v\overrightarrow{AD}=\vec{v}.
    u\vec{u}
    v\vec{v}
    A
    u\vec{u}
    B
    v\vec{v}
    C
    v-\vec{v}
    D
  7. Justifier, en utilisant la relation de Chasles, que DC=u\overrightarrow{DC}=\vec{u}.
  8. Correction
    On a :
    DC\overrightarrow{DC} == DA+AC\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}
    == v+u+v-\vec{v}+\vec{u}+\vec{v}
    == u\vec{u}.
  9. Démontrer alors que ABCDABCD est un parallélogramme.
  10. Correction
    Puisque AB=u\overrightarrow{AB}=\vec{u} et DC=u\overrightarrow{DC}=\vec{u} on a AB=DC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} et le quadrilatère ABCDABCD est bien un parallélogramme.
Exercice 3 Démontrer que pour touts points AA, CC, DD et EE on a : DC+EA+CE+AD=0.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}.
Correction
On utilise ici, à plusieurs reprises, la relation de Chasles.
DC+EA+CE+AD\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD} == DC+CE+EA+AD\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}
== DC+CE+EA+AD\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}}+\textcolor{blue}{\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}}
== DE+ED\textcolor{red}{\overrightarrow{DE}}+\textcolor{blue}{\overrightarrow{ED}}
== DD\overrightarrow{DD}
== 0\overrightarrow{0}.
Exercice 4 Soit ABCDABCD un parallélogramme.
  1. Montrer que BC+DA=0\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}.
  2. Correction
    A
    B
    C
    D
    On a BC=AD\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD} puisque ABCDABCD est un parallélogramme.
    Ainsi :
    BC+DA\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA} == AD+DA\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA} == AA\overrightarrow{AA} == 0\vec{0}.
  3. Montrer que AC=AB+AD\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.
  4. Correction
    On utilise ici à nouveau que BC=AD\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.
    D'après la relation de Chasles on a :
    AC=AB+BC\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} == AB+AD\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.
  5. Montrer que AC+BD=2AD\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}.
  6. Correction
    On utilise ici la formule précédente pour remplacer AC\overrightarrow{AC} et la relation de Chasles pour BD\overrightarrow{BD}.
    AC+BD\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} == AB+AD+BA+AD\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}
    == AB+BA+AD+AD\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}
    == AA+2AD\overrightarrow{AA}+2\overrightarrow{AD}
    == 0+2AD\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{AD}
    == 2AD2\overrightarrow{AD}.