2nde ∼ DST n°10 Exercice 1 On considère les trois fonctions ff, gg et hh, définies sur leur ensemble de définition respectifs DfD_f, DgD_g et DhD_h par : Déterminer pour chacune de ces fonctions si elles sont paires, impaires ou ni l'un ni l'autre.
Correction
L'ensemble de définition Df=];0[]0;+[D_f = ]-\infty\,;0[\cup ]0\,;+\infty[ est symétrique par rapport à 00.
De plus, pour tout xDfx\in D_f, on a :
f(x)=1(x)2f(-x)=\dfrac{1}{(-x)^2} == 1x2\dfrac{1}{x^2} == f(x)f(x).
Ainsi, la fonction ff est paire.
Correction
L'ensemble de définition Dg=RD_g = \mathbb{R} est symétrique par rapport à 00.
De plus, pour tout xDgx\in D_g, on a :
g(x)=(x)3(x)g(-x)=(-x)^3-(-x) == x3+x-x^3+x == (x3x)-(x^3-x) == g(x)-g(x).
Ainsi, la fonction gg est impaire.
Correction
L'ensemble de définition Dh=RD_h = \mathbb{R} est symétrique par rapport à 00.
De plus, pour tout xDhx\in D_h, on a :
h(x)=(x)2+(x)+1h(-x)=(-x)^2+(-x)+1 == x2x+1x^2-x+1 \neq h(x)h(x) \neq h(x)-h(x).
Ainsi, la fonction hh est ni paire ni impaire.
Exercice 2
  1. Résoudre sur R\mathbb{R} les inéquations suivantes :
    1. x2<5x^2 < 5.
    2. Correction
      x2<5x^2<5 si et seulement si 5<x<5-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}.
      Les solutions de l'inéquation sont donc tous les nombres de l'intervalle : ]5;5[]-\sqrt{5}\,; \sqrt{5}[.
    3. x29x^2\geq 9.
    4. Correction
      On a 9=3\sqrt{9}=3. Ainsi :
      x29x^2 \geq 9 si et seulement si x3x \leq -3 ou x3x \geq 3.
      Les solutions de l'inéquation sont donc tous les nombres de ];3][3;+[]-\infty\,; -3] \cup [3\,;+\infty[.
    5. x2>10x^2 > -10.
    6. Correction
      Un carré étant toujours positif, en particulier tout nombre réel xx a son carré plus grand 10-10.
      Ainsi, tous les nombres réels sont solutions de l'inéquation. L'ensemble des solutions est R\mathbb{R}.
  2. Résoudre sur ]0;+[]0\,;+\infty[ :      1x5\dfrac{1}{x} \leq 5
  3. Correction
    D'après le cours, ]0;+[]0\,;+\infty[ :
    1x5\dfrac{1}{x} \leq 5 si et seulement si x15x \geq \dfrac{1}{5}.
    L'ensemble des solutions est donc l'intervalle : [15;+[\left[ \dfrac{1}{5}\,; +\infty \right[.
Exercice 3 Partie A
Soient ff et gg deux fonctions définies sur R\mathbb{R}. On donne leur représentation graphique dans le repère ci-dessous.
1234−1−2−3510152025
Cg
Cf
  1. Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersections entre les deux courbes.
  2. Correction
    Les courbes se coupent en deux points : (0;5)(0\,;5) et (3;20)(3\,;20).
  3. Déterminer graphiquement leur position relative.
  4. Correction
    Sur [2,2;3][-2,2 \,; 3] la courbe Cg\mathcal{C}_g est au-dessus de Cf\mathcal{C}_f.
    Sur [3;3,3][3\,; 3,3] la courbe Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de Cg\mathcal{C}_g.
Partie B
Pour tout réel xx nous avons que f(x)=x32x+1f(x)=x^3-2x+1 et g(x)=4x22x+1g(x)=4x^2-2x+1.
  1. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersections entre Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
  2. Correction
    On résout pour cela l'équation :
    f(x)f(x) == g(x)g(x)
    x32x+1x^3-2x+1 == 4x22x+14x^2-2x+1
    x32x+14x2+2x1x^3-2x+1-4x^2+2x-1 == 00
    x34x2x^3-4x^2 == 00
    x2(x4)x^2(x-4) == 00
    D'après la règle du produit nul, on a donc :
    x2=0x^2=0 ou x4=0x-4=0
    x=0x=0 ou x=4x=4
    Ainsi, les coordonnées des points d'intersections sont :

    (0;f(0))=(0;1)(0\,;f(0))=(0\,;1) et (4;f(4))=(4;57)(4\,;f(4))=(4\,;57).
  3. Déterminer par le calcul leur position relative de Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
  4. Correction
    On résout pour cela l'inéquation :
    f(x)f(x) \leq g(x)g(x)
    x32x+1x^3-2x+1 \leq 4x22x+14x^2-2x+1
    x32x+14x2+2x1x^3-2x+1-4x^2+2x-1 \leq 00
    x34x2x^3-4x^2 \leq 00
    x2(x4)x^2(x-4) \leq 00
    Or x20x^2 \geq 0 en tant que carré. L'expression x2(x4)x^2(x-4) est donc positive si et seulement si x4x-4 est positif, soit si x4x \geq 4.

    Ainsi :
    • si x4x\leq 4, la courbe Cg\mathcal{C}_g est au-dessus de Cf\mathcal{C}_f ;
    • si x4x\geq 4, la courbe Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de Cg\mathcal{C}_g.