2nde ∼ Devoir commun décembre 2024 Exercice 1 Compléter les tableaux ci-dessous en cochant pour chaque ligne soit la case vrai, soit la cause faux.
Vrai Faux
817Z\dfrac{8}{17} \in \mathbb{Z}
2844Z-\dfrac{284}{4} \in \mathbb{Z}
2844Q-\dfrac{284}{4} \in \mathbb{Q}
π3πQ\dfrac{\pi}{3\pi} \in \mathbb{Q}
121R-\sqrt{121} \in \mathbb{R}
n2+nnZ-\dfrac{n^2+n}{n} \in \mathbb{Z}
Correction
La fraction 817\dfrac{8}{17} est irréductible, donc ce nombre n'est pas un entier et donc 817Z\dfrac{8}{17}\notin\mathbb{Z}.

2844=71Z-\dfrac{284}{4} = -71\in\mathbb{Z}.

Puisque ZQ\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}, alors 2844Q-\dfrac{284}{4}\in\mathbb{Q}.

π3π=13Q\dfrac{\pi}{3\pi}=\dfrac{1}{3}\in\mathbb{Q}

121=11Z-\sqrt{121}=-11\in\mathbb{Z}, or ZR\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}, donc 121R-\sqrt{121}\in\mathbb{R}.

n2+nn=n(n+1)n-\dfrac{n^2+n}{n}=-\dfrac{n(n+1)}{n} == (n+1)-(n+1) == n1-n-1.
Ainsi, si nn est un entier relatif non nul alors n2+nnZ-\dfrac{n^2+n}{n}\in\mathbb{Z}.
Exercice 2 Soit hh la fonction affine définie pour tout nombre xx réel par h(x)=34x+1h(x) = \dfrac{3}{4}x + 1.
Soit kk la fonction affine qui vérifie k(1)=2k(-1) = -2 et k(3)=0k(3) = 0.
  1. Déterminer l'image de 44 par hh.
  2. Correction
    h(4)=34×4+1h(4)=\dfrac{3}{4} \times 4+1 == 3+13+1 == 44.

    L'image de 4 par hh est 44.
  3. Calculer h(5)h(-5). On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
  4. Correction
    h(5)=34×(5)+1h(-5)=\dfrac{3}{4} \times (-5)+1 == 154+1-\dfrac{15}{4} +1 == 154+44-\dfrac{15}{4}+\dfrac{4}{4} == 114-\dfrac{11}{4}.
  5. Donner en justifiant le sens de variation de la fonction hh sur R\mathbb{R}.
  6. Correction
    Le coefficient directeur de hh est positif, donc hh est croissante sur R\mathbb R.
  7. Résoudre l'équation h(x)=0h(x)=0.
  8. Correction
    h(x)h(x) == 00
    34x+1\dfrac{3}{4}x+1 == 00
    34x\dfrac{3}{4}x == 1-1
    43×34x\textcolor{red}{\dfrac{4}{3}\times}\,\dfrac{3}{4}x == 1×43-1\,\textcolor{red}{\times\dfrac{4}{3}}
    xx == 43-\dfrac{4}{3}.
    L'équation h(x)=0h(x)=0 admet donc pour une unique solution 43-\dfrac{4}{3}.

    Remarque : on aurait pu utiliser la formule x=bax=-\dfrac{b}{a} du cours sur les fonctions affines avec a=34a=\dfrac{3}{4} et b=1b=1.
  9. Dresser le tableau de signes de la fonction hh sur R\mathbb{R}.
  10. Correction
    Puisque hh s'annule en 43-\dfrac{4}{3} et que son coefficient directeur est positif on a le tableau de signes suivant :
    xx -\infty 43-\dfrac{4}{3} ++\infty h(x)h(x) - 0 ++
    xx-\infty43-\dfrac{4}{3}++\infty
    h(x)h(x)-0++
  11. Déterminer l'expression algébrique de la fonction kk.
  12. Correction
    kk est une fonction affine donc il existe aa et bb R\in\mathbb{R} tels que k(x)=ax+bk(x) = a x + b.

    On sait que a=k(3)k(1)3(1)a=\dfrac{k(3)-k(-1)}{3-(-1)} == 0(2)4\dfrac{0-(-2)}{4} == 24\dfrac{2}{4} == 12\dfrac{1}{2}.

    Ainsi, k(x)=12x+bk(x)=\dfrac{1}{2}x+b et puisque k(3)=0k(3)=0, on a, en remplaçant xx par 33 :
    k(3)k(3) == 00
    12×3+b\dfrac{1}{2}\times3+b == 00
    32+b\dfrac{3}{2}+b == 00
    bb == 32-\dfrac{3}{2}.
    Ainsi, pour tout réel xx, k(x)=12x32k(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}.
  13. Tracer les courbes représentatives de hh et kk dans le repère donné ci-dessus.
  14. Correction
    Pour obtenir la droite représentant la fonction affine hh on utilise le résultats de la question 1 pour tracer les points (4;4)(4\,;4) et on peut remplacer xx par 00 pour obtenir le point (0;1)(0\,;1).
    Pour la droite représentant kk l'énoncé nous a déjà fourni les coordonnées de deux points à partir de k(1)=2k(-1) = -2 et k(3)=0k(3) = 0.
    012345−1−2−3−41234−1−2−3−4
    mathcalChmathcal{C}_h
    mathcalCkmathcal{C}_k
  15. Déterminer, par le calcul, les coordonnées exactes du point d’intersection de ces deux représentations graphiques.
  16. Correction
    On résout pour cela l'équation suivante :
    h(x)h(x) == k(x)k(x)
    34x+1\dfrac{3}{4}x+1 == 12x32\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}
    34x12x\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}x == 321-\dfrac{3}{2}-1
    34x24x\dfrac{3}{4}x-\dfrac{2}{4}x == 3222-\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{2}
    14x\dfrac{1}{4}x == 52-\dfrac{5}{2}
    4×14x\textcolor{red}{4\times}\,\dfrac{1}{4}x == 52×4-\dfrac{5}{2}\,\textcolor{red}{\times 4 }
    xx == 10-10

    On a alors h(10)h\left(-10\right) == 34×(10)+1\dfrac{3}{4}\times(-10)+1 == 132-\dfrac{13}{2}.

    Les coordonnées du point d'intersection sont donc (10;132)\left(-10\,; -\dfrac{13}{2}\right).
  17. L'algorithme Python ci-dessous vérifie si le point (150;113,25)(150\,; 113,25) appartient à la courbe représentative de la fonction affine hh. Compléter les deux lignes en pointillés.
  18. Correction
    Il nous faut ici vérifier que y0 est bien l'image de x0 par la fonction hh.
    Ainsi y0_calc doit être l'image de x0 par hh et ensuite on compare y0 et y0_calc :
012345−1−2−3−4123−1−2−3−4
Exercice 3 Questions de Cours
  1. Donner la définition d'une fonction affine.
  2. Correction
    Une fonction ff définie sur R\mathbb{R} est dite affine lorsqu'il existe deux réels aa et bb tels que pour tout xRx\in\mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x)=ax+b.
  3. Énoncer les trois identités remarquables
  4. Correction
    Soient aa et bb deux nombres réels.

    (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

    (ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

    a2b2=(ab)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b).
  5. Soient A(xA;yA)A(x_A\,; y_A) et B(xB;yB)B(x_B\,; y_B) deux points d'un repère orthonormé du plan. Donner la formule permettant de trouver les coordonnées du milieu CC du segment [AB][AB].
  6. Correction
    Les coordonnées du milieu de [AB][AB] sont (xA+xB2;yA+yB2)\left( \dfrac{x_A+x_B}{2} \,; \dfrac{y_A+y_B}{2} \right).
  7. Soient aa et bb deux réels strictement positifs. Compléter les formules ci-dessous :
    (a)2=\left(\sqrt{a}\right)^2 = \dots                      a×b=\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\dots
  8. Correction
    (a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2 =a

    a×b=a×b\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{a\times b}.
Exercice 4
  1. Développer et réduire les expressions suivantes.
    1. (x3)2(x-3)^2
    2. Correction
      On utilise ici l'identité remarquable :
      (ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.

      (x3)2(x-3)^2 == x22×x×3+32x^2-2\times x \times 3 +3^2
      == x26x+9x^2 - 6x +9.
    3. (x2)(1x)(x-2)(1-x)
    4. Correction
      On utilise ici la double distributivité.

      (x2)(1x)(x-2)(1-x) == x×1x×x2×12×(x)x\times 1 -x\times x -2\times 1 -2\times (-x)
      == xx22+2xx-x^2-2+2x
      == x2+3x2-x^2+3x-2.
    5. (x2)(x+2)(x+4)2(x-2)(x+2)-(x+4)^2
    6. Correction
      On utilise ici deux identités remarquables :
      (ab)(a+b)=a2b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2
      (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

      (x2)(x+2)(x+4)2(x-2)(x+2)-(x+4)^2 == x222(x2+8x+16)x^2-2^2-(x^2+8x+16)
      == x24x28x16x^2-4-x^2-8x-16
      == 8x20-8x-20.
    7. (x+5)(43x)+3(x+7)(x+5)(4-3x)+3(x+7)
    8. Correction
      On utilise ici la double et la simple distributivité.

      (x+5)(43x)+3(x+7)(x+5)(4-3x)+3(x+7) == 4x3x2+2015x+3x+214x-3x^2+20-15x+3x+21
      == 3x28x+41-3x^2-8x+41.
  2. Résoudre les équations suivantes. On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
    1. 16x+4=0-16x+4=0
    2. Correction
      16x+4-16x+4 == 00
      16x-16x == 4-4
      xx == 416\dfrac{-4}{-16}
      xx == 14\dfrac{1}{4}.
      L'équation admet une unique solution : 14\dfrac{1}{4}.
    3. x+6=3x9x+6=3x-9
    4. Correction
      x+6x+6 == 3x93x-9
      x3xx-3x == 96-9-6
      2x-2x == 15-15
      xx == 152\dfrac{-15}{-2}
      xx == 152\dfrac{15}{2}.
      L'équation admet une unique solution : 152\dfrac{15}{2}.
    5. 13x+7=12\dfrac{1}{3}x+7=\dfrac{1}{2}
    6. Correction
      13x+7\dfrac{1}{3}x+7 == 12\dfrac{1}{2}
      13x\dfrac{1}{3}x == 127\dfrac{1}{2}-7
      13x\dfrac{1}{3}x == 12142\dfrac{1}{2}-\dfrac{14}{2}
      13x\dfrac{1}{3}x == 132-\dfrac{13}{2}
      xx == 132×3-\dfrac{13}{2}\times3
      xx == 392-\dfrac{39}{2}.
      L'équation admet une unique solution : 392-\dfrac{39}{2}.
  3. On a tapé les instructions suivantes dans la console Python.
  4. Quelles sont les valeurs de pp et qq à la fin de l'algorithme si :
    1. p=2p=2 et q=1q=1 ;
    2. Correction
      Dans cette situation on a p>qp > q donc les instructions
      p = p**3-q
      q = q+10
      s'éxécutent.
      L'instruction p = p**3-q nous donne que la nouvelle valeur de pp est 2312^3-1 == 77.
      L'instruction q = q+10 nous donne que la nouvelle valeur de qq est 1+10=111+10=11.

      Les valeurs de pp et qq à la fin de l'algorithme sont donc p=7p=7 et q=11q=11.

      On peut le vérifier à l'aide l'agorithme suivant :
    3. p=1p=1 et q=2q=2.
    4. Correction
      Ddans cette situation la condition « p>qp > q » n'est pas respectée. Ce sont donc les instructions
      p = p-2*q
      q = p*q qui s'éxécutent.

      La nouvelle valeur de pp vaut donc 12×21-2\times2 == 3-3.
      La nouvelle valeur de qq vaut 3×2=6-3\times2 = -6.

      Les valeurs de pp et qq à la fin de l'algorithme sont donc p=3p=-3 et q=6q=-6.

      On peut le vérifier à l'aide l'agorithme suivant :
Exercice 5 Soit un repère orthonormé (O;I;J)(O;I;J). On considère les points O(0;0)O(0\,;\,0), M(2;2)M(-2\,;\,-2), A(1;4)A(1\,;\,-4), T(5;2)T(5\,;\,2) et H(2;4)H(2\,;\,4).
1234−1−2−3123−1−2−3
OO
II
JJ
  1. Placer les points MM, AA, TT et HH dans le repère ci-dessus.
  2. Correction
    12345−1−2−31234−1−2−3−4
    OO
    II
    JJ
    MM
    AA
    TT
    HH
  3. Calculer les longueurs des trois côtés de MATMAT.
  4. Correction
    MA2MA^2 == (xAxM)2+(yAyM)2(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2
    == (1(2))2+(4(2))2(1-(-2))^2+(-4-(-2))^2
    == 32+(2)23^2+(-2)^2
    == 9+49+4
    == 1313.
    Ainsi, MA=13MA=\sqrt{13}.

    TA2TA^2 == (xAxT)2+(yAyT)2(x_A-x_T)^2+(y_A-y_T)^2
    == (15)2+(42)2(1-5)^2+(-4-2)^2
    == (4)2+(6)2(-4)^2+(-6)^2
    == 16+3616+36
    == 5252.
    Ainsi, TA=52TA=\sqrt{52} == 2132\sqrt{13}.
    MT2MT^2 == (xTxM)2+(yTyM)2(x_T-x_M)^2+(y_T-y_M)^2
    == (5(2))2+(2(2))2(5-(-2))^2+(2-(-2))^2
    == 72+427^2+4^2
    == 49+1649+16
    == 6565.
    Ainsi, MT=65MT=\sqrt{65}.
  5. En déduire la nature du triangle MATMAT.
  6. Correction
    On a MA2+AT2MA^2+AT^2 == 13+5213+52 == 6565 == MT2MT^2.
    Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle MAT est rectangle en AA.
  7. Déterminer alors le milieu du segment [MT][MT].
  8. Correction
    Les coordonnées du milieu de [MT][MT] sont :

    (xM+xT2;yM+yT2)\left( \dfrac{x_M+x_T}{2} \,; \dfrac{y_M+y_T}{2} \right) == (2+52;2+22)\left( \dfrac{-2+5}{2} \,; \dfrac{-2+2}{2} \right) == (32;0)\left( \dfrac{3}{2} \,; 0 \right).
  9. Démontrer alors que MATHMATH est un parallélogramme.
  10. Correction
    Les coordonnées du milieu de [AH][AH] sont :

    (xA+xH2;yA+yH2)\left( \dfrac{x_A+x_H}{2} \,; \dfrac{y_A+y_H}{2} \right) == (1+22;4+42)\left( \dfrac{1+2}{2} \,; \dfrac{-4+4}{2} \right) == (32;0)\left( \dfrac{3}{2} \,; 0 \right).

    Ainsi, les diagonales du quadrilatère MATHMATH se coupent en leur milieu, c'est donc un parallélogramme.s
  11. A partir du résultat de la question 3), préciser la nature de MATHMATH.
  12. Correction
    MATHMATH est un parallélogramme qui possède un angle droit, ainsi tous ses angles sont droits et c'est donc un rectangle.
  13. L'algorithme ci-contre vérifie si les points A(xA;yA)A(xA;yA), B(xB;yB)B(xB;yB) et C(xC;yC)C(xC;yC) forment un triangle rectangle en CC. Compléter la ligne manquante.
  14. Correction
    La condition à tester dans cet algorithme est celle de l'égalité de Pythagore à savoir si AB2=AC2+BC2AB^2=AC^2+BC^2 car on souhaite regarder si le triangle est rectangle en CC.
    (Si on souhaitait vérifier que le triangle était rectangle en AA on aurait dû tester BC2=AB2+AC2BC^2=AB^2+AC^2.)

    L'algorithme complet est donc :
Exercice 6 Dans la chaîne de fastfood McKing, on peut acheter des nuggets par boites de 6, de 9 ou de 20. On ne peut ainsi pas acheter un nuggets tout seul, ou même deux.
  1. Est-il possible d'acheter exactement 7 nuggets (justifier)?
  2. Correction
    Il est impossible d'acheter exactement 77 nuggets car 77 ne peut pas être obtenu en additionnant un certain nombre de 66, de 99 ou de 2020.
  3. Est-il possible d'acheter exactement 15 nuggets? Et exactement 35?
  4. Correction
    On peut acheter exactement 1515 nuggets car 15=6+915=6+9.

    On peut acheter exactement 3535 nuggets car 35=15+2035=15+20 == 6+9+206+9+20.
  5. Pour tous les nombres jusqu'à 50, donner si c'est possible les boîtes à acheter pour obtenir le bon nombre de nuggets. Si ça ne l'est pas, marquer que c'est impossible (exemple: 27=3*6+9).

  6. 7=7 = Impossible
    8=8 =
    9=9 =
    10=10 =
    11=11 =
    12=12 =
    13=13 =
    14=14 =
    15=15 =
    16=16 =
    17=17 =
    18=18 =
    19=19 =
    20=20 =
    21=21 =
    22=22 =
    23=23 =
    24=24 =
    25=25 =
    26=26 =
    27=27 =
    28=28 =
    29=29 =
    30=30 =
    31=31 =
    32=32 =
    33=33 =
    34=34 =
    35=35 =
    36=36 =
    37=37 =
    38=38 =
    39=39 =
    40=40 =
    41=41 =
    42=42 =
    43=43 =
    44=44 =
    45=45 =
    46=46 =
    47=47 =
    48=48 =
    49=49 =
    50=50 =
    Correction
    7=7 = Impossible
    8=8 = Impossible
    9=1×99 = 1\times 9
    10=10 = Impossible
    11=11 = Impossible
    12=2×612 = 2\times 6
    13=13 = Impossible
    14=14 = Impossible
    15=6+915 = 6+9
    16=16 = Impossible
    17=17 = Impossible
    18=3×618 = 3\times 6
    19=19 = Impossible
    20=1×2020 = 1\times 20
    21=2×6+921 = 2\times6+9
    22=22 = Impossible
    23=23 = Impossible
    24=4×624 = 4\times 6
    25=25 = Impossible
    26=6+2026 = 6+20
    27=3×927 = 3\times 9
    28=28 = Impossible
    29=9+2029 = 9+20
    30=5×630 = 5\times 6
    31=31 = Impossible
    32=2×6+2032 = 2\times6+20
    33=6+9×333 = 6+9\times 3
    34=34 = Impossible
    35=6+9+2035 = 6+9+20
    36=6×636 = 6\times 6
    37=37 = Impossible
    38=6×3+2038 = 6\times3 +20
    39=2×6+3×939 = 2\times6+3\times9
    40=2×2040 = 2\times20
    41=2×6+9+2041 = 2\times6+9+20
    42=7×642 = 7\times6
    43=43 = Impossible
    44=4×6+2044 = 4\times6+20
    45=5×945 = 5\times9
    46=6+2×2046 = 6+2\times20
    47=3×9+2047 = 3\times9+20
    48=8×648 = 8\times6
    49=9+2×2049 = 9+2\times20
    50=5×6+2050 = 5\times6+20
  7. Pourquoi peut-on dire qu'à partir de 5050, on peut commander tous les nombres possibles de nuggets ?
  8. Correction
    De 4444 nuggets à 5050 nuggets il est possible de commander une combinaison de boîtes de 66, 99 et 2020.
    Pour 5151 nuggets, si on retire 66 nuggets (donc une boîte de 66) on obtient 4545 qui lui s'obtient par combinaison. La combinaison de 4545 à laquelle on ajoute une boîte de 66 nous donne donc une combinaison pour obtenir 5151 nuggets.
    On peut procéder de même de 5151 à 5656 nuggets et on obtiendra une combinaison possibles pour ces nombres.
    Et puisqu'on a trouver de telles combinaisons, on peut en trouver pour tous les nombres de 5757 à 6262 (en ajoutant 66 à chacun d'eux), et en procédant ainsi de suite on voit que pour tous les nombres supérieurs à 5050 on peut donc toujours trouver une combinaison possible.