2nde ∼ DST n°9 Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On considère dans le graphique ci-dessous un point $A$ et deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
  1. Construire le point $B$ image de $A$ dans la translation de vecteur $\vec{u}$.
  2. Construire le point $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$.
  3. Construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{DA}=-\vec{v}$.
    4. Si $\overrightarrow{DA}=-\vec{v}$ alors $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$.
  4. Justifier, en utilisant la relation de Chasles, que $\overrightarrow{DC}=\vec{u}$.
    5. On a :
    $\overrightarrow{DC}$ $=$ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}$
    $=$ $-\vec{v}+\vec{u}+\vec{v}$
    $=$ $\vec{u}$.
  5. Démontrer alors que $ABCD$ est un parallélogramme.
    6. Puisque $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ et $\overrightarrow{DC}=\vec{u}$ on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et le quadrilatère $ABCD$ est bien un parallélogramme.
  1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
    1. $x^2 < 5$.
      2. $x^2<5$ si et seulement si $-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$.
      Les solutions de l'inéquation sont donc tous les nombres de l'intervalle : $]-\sqrt{5}\,; \sqrt{5}[$.
    2. $x^2\geq 9$.
      3. On a $\sqrt{9}=3$. Ainsi :
      $x^2 \geq 9$ si et seulement si $x \leq -3$ ou $x \geq 3$.
      Les solutions de l'inéquation sont donc tous les nombres de $]-\infty\,; -3] \cup [3\,;+\infty[$.
  2. Résoudre sur $]0\,;+\infty[$ : 4 $\dfrac{1}{x} \leq 5$
    3. D'après le cours, $]0\,;+\infty[$ :
    $\dfrac{1}{x} \leq 5$ si et seulement si $x \geq \dfrac{1}{5}$.
    L'ensemble des solutions est donc l'intervalle : $\left[ \dfrac{1}{5}\,; +\infty \right[$.
Partie A
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$. On donne leur représentation graphique dans le repère ci-dessous.
  1. Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersections entre les deux courbes.
    2. Les courbes se coupent en deux points : $(0\,;5)$ et $(3\,;20)$.
  2. Déterminer graphiquement leur position relative.
    3. Sur $[-2,2 \,; 3]$ la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\mathcal{C}_f$.
    Sur $[3\,; 3,3]$ la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
Partie B
Pour tout réel $x$ nous avons que $f(x)=x^3-2x+1$ et $g(x)=4x^2-2x+1$.
  1. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersections entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    2. On résout pour cela l'équation :
    $f(x)$ $=$ $g(x)$
    $x^3-2x+1$ $=$ $4x^2-2x+1$
    $x^3-2x+1-4x^2+2x-1$ $=$ $0$
    $x^3-4x^2$ $=$ $0$
    $x^2(x-4)$ $=$ $0$
    D'après la règle du produit nul, on a donc :
    $x^2=0$ ou $x-4=0$
    $x=0$ ou $x=4$
    Ainsi, les coordonnées des points d'intersections sont :

    $(0\,;f(0))=(0\,;1)$ et $(4\,;f(4))=(4\,;57)$.
  2. Déterminer par le calcul leur position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
    3. On résout pour cela l'inéquation :
    $f(x)$ $\leq$ $g(x)$
    $x^3-2x+1$ $\leq$ $4x^2-2x+1$
    $x^3-2x+1-4x^2+2x-1$ $\leq$ $0$
    $x^3-4x^2$ $\leq$ $0$
    $x^2(x-4)$ $\leq$ $0$
    Or $x^2 \geq 0$ en tant que carré. D'après la règle des signes, l'expression $x^2(x-4)$ est donc négative si et seulement si $x-4$ est négatif, soit si $x \leq 4$.

    Ainsi :