Georges-Louis Leclerc comte de Buffon Des aiguilles et le nombre $\pi$Éléments biographiques de Georges-Louis Leclerc comte de Buffon
Georges-Louis Leclerc est né le 7 septembre 1707 à Montbard et est mort le 16 avril 1788 à Paris. Son père avait le titre nobiliaire de comte et avait pu payer une charge pour devenir conseiller au parlement de Bourgogne à Dijon.
Georges-Louis Leclerc avait des prédisposition en sciences mais il suivit des études de droit à Dijon selon la volonté de son père. Une fois licencié il part à l'université d'Angers étudier les mathématiques, la médecine et la botanique. Cependant, après un duel dans lequel il aurait tué un jeune officier croate, il quitte la faculté et finit par entreprendre un voyage à travers la France, l'Italie et l'Angleterre. Il continue durant cette période à approfondir ses connaissances en sciences et à la mort de sa mère en 1731 à Paris il obtient l'autorisation de son père pour construire l'hôtel de Buffon, une ménagerie, un laboratoire et un cabinet de travail à Montbard.
En 1732, Leclerc, qui commence à signer Buffon, souhaite faire carrière dans les sciences et veut habiter Paris. Il est en correspondance avec Alexis Clairaut qui lui trouve un logement, à la même adresse que lui, rue des Boucheries, chez Gilles-François Boulduc (1675 - 1741), membre de l'Académie des Sciences, premier apothicaire du Roi et démonstrateur de chimie au Jardin du Roi (futur jardin des Plantes).
Il entreprend alors des travaux en mathématiques et présente à l'Académie des Sciences, en 1733, un mémoire sur le jeu du franc carreau. Le sujet est novateur puisqu'il traite pour la première fois de probabilités liées non pas au dénombrement mais à la géométrie en utilisant le calcul intégral. Ce mémoire a été perdu mais Buffon le reprend en 1777, sans doute en partie, avec des calculs et démonstrations en moins, dans son Essais d'Arithmétique morale inclus dans le quatrième supplément de l'œuvre de toute sa vie, son Histoire Naturelle. C'est dans ce mémoire qu'apparait pour la première fois le fameux problème des aiguilles de Buffon sur lequel nous reviendrons ci-dessous. Alexis Clairaut et Pierre Louis Moreau de Maupertuis sont rapporteurs du texte de Buffon et émettent un avis favorable en concluant lors de l'assemblée du 25 avril 1733 par les mots suivants : « Tout cela fait voir, outre beaucoup de savoir en géométrie, beaucoup d'invention dans l'auteur ». Buffon, sans doute grâce à ce texte et à ses relations, fera son entrée à l'Académie des Sciences comme adjoint mécanicien le 9 janvier 1734 à l'âge de 27 ans.
Portrait de Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon réalisé par François-Hubert Drouais en 1753
Il correspond à cette époque avec Gabriel Cramer (1704 - 1752), traduit la Théorie des fluxions de Newton, mais sa carrière prend un tournant lorsque le ministre de la marine Maurepas demande une étude sur les bois de construction pour les navires dans l'optique de concurrencer la puissance britanique. Aucun commissaire de l'Académie des sciences n'accepte la demande du ministre, mais Buffon, qui a hérité d'une exploitation forestière à Montbard va s'y atteler avec méthode. Ses qualités de gestionnaire et de naturaliste commencent alors à s'exprimer, et la marine française va pouvoir réellement s'améliorer grâce à son travail complet et minutieux. En mars 1739, l'Académie des sciences le fait passer de la section mécanique, à celle de la botanique, puis il est nommé intendant du Jardin du roi en juillet 1739. Son temps se partagera alors entre Paris et Montbard, entre administration du Jardin royal des plantes et rédaction de son œuvre majeure, qui contiendra $36$ volumes, Histoire naturelle.
Buffon ne refera plus de mathématiques si ce n'est dans l'Essais d'Arithmétique morale inclus dans le quatrième supplément à l'Histoire naturelle. Il va s'atteler à développer avec énergie le Jardin des Plantes et le Cabinet d'Histoire Naturelle du roi. Il exploite également sa propriété de Montbard pour ses études. Car, il a besoin d'expériences pour pouvoir percer les secrets de l'ensemble de la nature qu'il souhaite décrire de manière complète dans son œuvre. Il sera l'un des premiers à vouloir concilier expérience et raisonnement dans l'étude de la nature. Sa démarche est alors novatrice pour l'époque et il est considéré en cela comme l'un des plus grands naturalistes, prédécesseur de Lamarck (1744 - 1829) et Darwin (1809 - 1882). Même si une partie de ses affirmations sont naturellement critiquables aujourd'hui, on peut en noter certaines qui sont remarquables : il est l'un des premiers à affirmer que la Terre est bien plus âgée que l'idée partagée alors d'un temps biblique, il ébauche des idées d'évolutions au sein des espèces, etc. Nous ne pouvons ici développer l'étendue de son travail mais il est à retenir que son impact fut majeur sur son époque et qu'il restera un gestionnaire admirable et reconnu du Jardin des plantes jusqu'à sa mort en 1788.
Le problème des aiguilles de Buffon
Le jeu du franc carreau opposait deux joueurs et consistait à lancer une pièce sur un carrelage régulier. Un des joueur pariait sur le fait que la pièce tombait sur un carreau sans touchait aucun joint (franc carreau) et l'autre que la pièce touchait un joint.
Nous avons donc vu que Buffon, agé de 26 ans, propose en 1733 un mémoire sur ce jeu à l'Académie des sciences. À l'intérieur du texte, l'auteur étudie une toute autre situation que celle du jeu du franc carreau, que l'on appelle aujourd'hui le problème de Buffon.
On considère un parquet dont les lames sont parfaitement parallèles et d'égales dimensions. On jette dessus une aiguille et on cherche à déterminer la longueur de cette aiguille pour que le pari d'être à cheval entre deux lames soit autant probable que celui de n'être que sur une seule. Buffon décrit la situation avec les mots suivants :
Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divisé par des joints parallèles, on jette en l'air une baguette, et que l'un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune des parallèles du parquet, et que l'autre au contraire parie que la baguette croisera quelques-unes de ces parallèles ; on demande le sort de ces deux joueurs. On peut jouer ce jeu sur un damier avec une aiguille à coudre ou une épingle sans tête.
Nous allons suivre ici les étapes des calculs effectués par Buffon.
L'épaisseur d'une lame est notée $2a$ et sa longueur $f$. La longueur de l'aiguille $2b$ et le quart de la circonférence du cercle de diamètre $b$ est noté $c$. Même si Buffon ne l'écrit jamais, on a $c=\dfrac{\pi b}{2}$.
Dans la figure ci-dessus les droites $(ab)$ et $(cd)$ sont parallèles à $(AB)$ et telles que $Aa=Cc=b$ longueur de la moitié de l'aiguille.
Buffon s'intéresse alors au premier joueur qui parie que l'aiguille ne coupe pas les droites $(AB)$ et $(CD)$. Il affirme alors que si le centre de l'aiguille tombe dans le rectangle $abdc$ alors celle-ci ne coupera jamais les joints.
Il raisonne en terme de symétrie en annonçant qu'il suffit de considérer seulement ce qu'il se passe pour la moitié supérieure de la figure et que lorsqu'on considère les différentes positions de l'aiguille par rapport à son centre, les rotations autour de ce dernier à prendre en compte sont celles qui correspondent à un quart de tour.
Buffon affirme, sans aucune justification, que la « probabilité » (il parle en fait de la somme totale des cas favorables au premier joueur) est de $f(a-b)c$. Il considère donc des aires pour calculer l'ensemble des possibilités, son raisonnement est ainsi basé sur le calcul intégral.
Il étudie ensuite la situation où le centre de l'aiguille tombe dans le rectangle $ABba$. Ici, il y a des cas où l'aiguille peut couper la droite $(AB)$. Dans la figure il annonce que l'arc de cercle $\phi G$ représente l'ensemble des situations où l'aiguille coupe le joint et l'arc $GH$ toutes celles où elle ne le coupe pas. Il affirme alors qu'il en sera de même pour tous les points de la droite $\epsilon\phi$ et qu'il raisonne avec $\text{d}x$ représentant les « petites parties » de cette droite, et $y$ les arcs de cercle $\phi G$ correspondants. La variable $y$ est donc en fait une fonction de $x$.
Buffon nous dit que l'expression de tous les cas où l'aiguille coupe la droite $(AB)$ vaut $f\left(\int y\text{d}x\right)$ et l'expression des cas où elle ne la coupe pas est $f\left(bc-\int y\text{d}x \right)$.
Il somme alors tous les cas où l'aiguille ne se croise pas $(AB)$ :
$f(a-b)c+f\left(bc-\int y\text{d}x \right) = f\left(ac-\int y\text{d}x\right)$.
Il calcule le rapport entre les cas où l'aiguille ne croise pas $(AB)$ avec ceux où elle croise (comme dans les paris où on ne considère pas des probabilités, mais des rapports entre deux événements contraires) : $\displaystyle{\dfrac{ac-\int y\text{d}x}{\int y\text{d}x}}$.
Pour que le jeu soit équitable il faut que $ac=2\int y\text{d}x$ et donc $a=\displaystyle{\dfrac{\int y\text{d}x}{\frac{1}{2}c}}$.
Buffon affirme sans autre argument que $\int y\text{d}x$ est l'aire d'une partie d'une cycloïde de cercle générateur de rayon $b$ et que cette aire vaut $b^2$. Ce résultat surprenant faisait cependant partie de la culture sur la cycloïde à l'époque. Il avait été établi par Christian Huygens (1629 - 1695) et Christopher Wren (1632 - 1723). John Wallis (1616 - 1703) et Philippe de La Hire (1640 - 1718) ont repris plus tard ce résultat, qui ne sera malgré tout seulement démontré par la méthode des indivisibles et non par le calcul intégral.
Buffon obtient donc que $a=\dfrac{b^2}{\frac{1}{2}c}$, c'est-à-dire $a=\dfrac{b^2}{\frac{\pi b}{4}}=\dfrac{4b}{\pi}$ et donc $b=\dfrac{\pi}{4}a \approx 0,785 a$. Il annonce enfin que la longueur de l'aiguille doit faire à peu-près les trois quarts de l'épaisseur d'une lame du parquet.
Contrairement à ce que l'on peut trouver dans la littérature actuelle, notamment sur internet, Buffon n'a jamais utilisé l'expérience des aiguilles pour déterminer une valeur approchée de $\pi$. Son objectif était simplement d'utiliser le calcul intégral pour des calculs de probabilités. C'est en fait Pierre-Simon de Laplace qui, dans sa Théorie analytique des probabilités éditée en 1812, va utiliser ce problème, alors largement célèbre, pour obtenir une approximation de $\pi$ en jetant des aiguilles. Il écrit en préambule :
Enfin, on pourrait faire usage du calcul des probabilités, pour rectifier les courbes ou carrer leurs surfaces. Sans doute, les géomètres n'emploieront pas ce moyen ; mais comme il me donne lieu de parler d'un genre particulier de combinaisons du hasard, je vais l'exposer en peu de mots.
Les idées novatrices en probabilités que Buffon a développées lors de sa jeunesse, dans une période où les mathématiques étaient au centre de sa pensée, ont donc été reprises par Laplace qui va le premier jeter des bases solides à la théorie des probabilités. Le problème des aiguilles de Buffon sous l'impulsion de Laplace permettra plus tard de développer le principe de la méthode de Monte-Carlo.
Cependant, les calculs présentés par Buffon dans son mémoire n'ont pas été repris et nous proposons ci-dessous la démonstration classique du fait que la probabilité qu'une aiguille de longueur $2b$ coupe les lattes parallèles d'un parquet dont l'épaisseur de chacune d'elles est de $2a$, vaut $\dfrac{2b}{\pi a}$.
On se place dans un repère orthonormé dont l'origine est placé sur un joint entre deux lames (d'épaisseur nulle) et dont l'axe des abscisses est située sur cette droite séparant les deux lames.
On note $I$ le milieu du segment $[PQ]$ représentant l'aiguille et $y$ l'ordonnée de $I$, $\theta$ l'angle que fait l'aiguille par rapport à l'axe des abscisses. On a alors que $PI=IQ=b$, et en utilisant les formules de trigonométrie que l'ordonnée du point $P$ vaut $y+b\sin(\theta)$ et celle du point $Q$ vaut $y-b\sin(\theta)$.
Ainsi, l'aiguille coupera une des jointures entres les lames si et seulement si $y+b\sin(\theta) \geq 2a$ ou $y-b\sin(\theta) \leq 0$, c'est-à-dire si et seulement si $y\geq 2a-b\sin(\theta)$ ou $y\leq b\sin(\theta)$.
Traçons dans un autre repère orthonormé les courbes d'équations $y=2a-b\sin(\theta)$ et $y=b\sin(\theta)$ avec $\theta\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2} \right]$.
Les situations où l'aiguille est à cheval sur deux lames correspondent aux inégalités $y\geq 2a-b\sin(\theta)$ ou $y\leq b\sin(\theta)$ c'est-à-dire à l'ensemble des cas coloriés en rouge sur le graphique.
On peut remarquer à l'aide d'arguments de symétrie que les deux aires coloriées sont identiques. Ainsi la probabilité $p$ que l'aiguille soit à cheval sur deux lames correspond au rapport entre l'aire des deux parties coloriées et l'aire du rectangle dans lequel elles sont inscrites, c'est-à-dire :
$$p=\dfrac{\displaystyle{2\int_0^{\frac{\pi}{2}}b\sin(\theta)\text{d}\theta}}{\dfrac{\pi}{2}\times 2a} = \dfrac{\displaystyle{2b\left[ -\cos(\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}}}{\pi a} = \dfrac{2b}{\pi a}.$$
On retrouve bien le résultat de Buffon qui pour obtenir une situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire $\dfrac{2b}{\pi a}=\dfrac{1}{2}$, affirme que $b=\dfrac{\pi}{4}a$.
En reprenant la formule $p=\dfrac{2b}{\pi a}$, on a $\pi = \dfrac{2b}{pa}$. Ainsi, en réalisant l'expérience de lancer un grand nombre de fois une même aiguille, sur un même parquet, en effectuant le calcul $\dfrac{2b}{pa}$ on obtient une approximation du nombre $\pi$.
Après une simulation sur ordinateur, où $a=1$ et $b=0,5$, nous avons obtenu après $1\,000$ lancers, $319$ aiguilles à cheval sur deux lames. On a donc $\pi = \dfrac{2\times0,5}{0,319\times1}\approx 3,135$.
Cette méthode n'est bien-sûr pas la plus efficace pour obtenir un grand nombre de décimales pour $\pi$ mais cependant l'idée est féconde et est utilisée dans des espaces à plusieurs dimensions pour approcher des volumes. Elle a le mérite également de lier analyse, probabilité et le nombre $\pi$.
Implémentation
On utilise le code ci-dessous (exécutable dans sarmateGraph) pour illustrer graphiquement l'expérience des aiguilles de Buffon.
Xmin = 0
Xmax = 10
Ymin = -0.1
Ymax = 10.1
peinture = "rgb(125,30,20)"
transparence = 0.5
rectangle([-2,12],20,20)
couleur = "rgb(125,30,20)"
for(var i = 0; i < 11; i++){
droite([0,i],[10,i])
}
var nb = 0
var N = 500
var a = 0.4
for(var i = 0; i < N; i++){
nb = nb+aiguille(a/2)
}
function aiguille(r){
xa = 10*rand()
ya = 10*rand()
var res = 0;
alpha = 2*%PI*rand()
xa1 = r*cos(alpha)+xa
ya1 = r*sin(alpha)+ya
xa2 = r*cos(alpha+%PI)+xa
ya2 = r*sin(alpha+%PI)+ya
couleur = noir
if( Math.abs(Math.floor(ya2)-Math.floor(ya1))>=1){
res = 1
couleur = blanc
}
segment([xa1,ya1],[xa2,ya2])
return res
}
Les aiguilles à cheval entre deux lames sont coloriées en blanc et les autres en noir. En modifiant les variables et en augmentant le nombre de lancers on obtient les approximations suivantes.
$1\,000$ lancers, $\ell=1$, $a=0,5$
Xmin = 0
Xmax = 10
Ymin = -0.1
Ymax = 10.1
peinture = "rgb(125,30,20)"
transparence = 0.5
rectangle([-2,12],20,20)
couleur = "rgb(125,30,20)"
for(var i = 0; i < 11; i++){
droite([0,i],[10,i])
}
var nb = 0
for(var i = 0; i < 1000; i++){
nb = nb+aiguille(0.25)
}
document.getElementById("buffon3").innerHTML = nb+" parmi "+1000;
var pia = 1000/nb;
var piTxt = (pia.toString()).replace('.',',');
document.getElementById("buffon4").innerHTML = "π ≈ "+piTxt+".";
function aiguille(r){
xa = 10*rand()
ya = 10*rand()
var res = 0;
alpha = 2*%PI*rand()
xa1 = r*cos(alpha)+xa
ya1 = r*sin(alpha)+ya
xa2 = r*cos(alpha+%PI)+xa
ya2 = r*sin(alpha+%PI)+ya
couleur = noir
if( Math.abs(Math.floor(ya2)-Math.floor(ya1))>=1){
res = 1
couleur = blanc
}
segment([xa1,ya1],[xa2,ya2])
return res
}
$10\,000$ lancers, $\ell=1$, $a=0,5$
Xmin = 0
Xmax = 10
Ymin = -0.1
Ymax = 10.1
peinture = "rgb(125,30,20)"
transparence = 0.5
rectangle([-2,12],20,20)
couleur = "rgb(125,30,20)"
for(var i = 0; i < 11; i++){
droite([0,i],[10,i])
}
var nb = 0
for(var i = 0; i < 10000; i++){
nb = nb+aiguille(0.25)
}
document.getElementById("buffon5").innerHTML = nb+" parmi "+10000;
var pia = 10000/nb;
var piTxt = (pia.toString()).replace('.',',');
document.getElementById("buffon6").innerHTML = "π ≈ "+piTxt+".";
function aiguille(r){
xa = 10*rand()
ya = 10*rand()
var res = 0;
alpha = 2*%PI*rand()
xa1 = r*cos(alpha)+xa
ya1 = r*sin(alpha)+ya
xa2 = r*cos(alpha+%PI)+xa
ya2 = r*sin(alpha+%PI)+ya
couleur = noir
if( Math.abs(Math.floor(ya2)-Math.floor(ya1))>=1){
res = 1
couleur = blanc
}
segment([xa1,ya1],[xa2,ya2])
return res
}
$50\,000$ lancers, $\ell=1$, $a=0,01$
Xmin = 0
Xmax = 10
Ymin = -0.1
Ymax = 10.1
peinture = "rgb(125,30,20)"
transparence = 0.5
rectangle([-2,12],20,20)
couleur = "rgb(125,30,20)"
for(var i = 0; i < 11; i++){
droite([0,i],[10,i])
}
var nb = 0
var N = 50000
var a = 0.1
for(var i = 0; i < N; i++){
nb = nb+aiguille(a/2)
}
document.getElementById("buffon7").innerHTML = nb+" parmi "+N;
var pia = 2*a*N/nb;
var piTxt = (pia.toString()).replace('.',',');
document.getElementById("buffon8").innerHTML = "π ≈ "+piTxt+".";
function aiguille(r){
xa = 10*rand()
ya = 10*rand()
var res = 0;
alpha = 2*%PI*rand()
xa1 = r*cos(alpha)+xa
ya1 = r*sin(alpha)+ya
xa2 = r*cos(alpha+%PI)+xa
ya2 = r*sin(alpha+%PI)+ya
couleur = noir
if( Math.abs(Math.floor(ya2)-Math.floor(ya1))>=1){
res = 1
couleur = blanc
}
segment([xa1,ya1],[xa2,ya2])
return res
}
On notera que si on suppose les lancers d'aiguilles indépendants, la fréquences calculée va converger vers la probabilité $p$ en vertu du théorème de la loi faible des grands nombres.
