BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE BLANCHE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ


MATHÉMATIQUES


Durée de l'épreuve : 4 heures


L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
Exercice 15 points Dans un repère orthonormé de l'espace on considère les points A(5;0;0)A(5\,;0\,;0), B(0;4;0)B(0\,;4\,;0) et C(0;0;8)C(0\,;0\,;8 ).
On définit également une droite dd à l'aide de la représentation paramétrique suivante : {x=2+t′y=6+t′z=2−t′,t′∈R.\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 2+t' \\ y & = & 6+t'\\ z & = & 2-t' \end{array} \right., t'\in\mathbb{R}.
    1. Déterminer l'aire du triangle AOBAOB.
      2. Correction
      Puisque AA appartient à l'axe des abscisses et BB à celui des ordonnées et que le repère est orthonormé, on a que le triangle AOBAOB est rectangle OO.
      Son aire vaut donc :
      A\mathscr{A} == 12OA×OB\dfrac{1}{2}OA\times OB
      == 12(xA−xO)2+(yA−yO)2+(zA−zO)2×(xB−xO)2+(yB−yO)2+(zB−zO)2\dfrac{1}{2}\sqrt{(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2+(z_A-z_O)^2}\times \sqrt{(x_B-x_O)^2+(y_B-y_O)^2+(z_B-z_O)^2}
      == 1252×42\dfrac{1}{2}\sqrt{5^2}\times \sqrt{4^2}
      == 1010.
      ✕
    2. En déduire le volume du tétraèdre AOBCAOBC.
      3. Correction
      Puisque CC appartient à l'axe des cotes nous avons que (OC)(OC) est orthogonale au plan (AOB)(AOB) et représente donc une hauteur du tétraèdre AOBCAOBC.
      On a OC=(xC−xO)2+(yC−yO)2+(zC−zO)2OC=\sqrt{(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2+(z_C-z_O)^2} == 82\sqrt{8^2} == 88.
      Le volume du tétraèdre AOBCAOBC est alors :
      V\mathscr{V} == 13AAOB×OC\dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{AOB}\times OC == 13×10×8\dfrac{1}{3}\times 10\times 8 == 803\dfrac{80}{3}.
      ✕
    1. Le point BB appartient-il à dd ?
      2. Correction
      Pour que le BB appartienne à dd il faut qu'il existe une valeur de t′t' pour laquelle les coordonnées de BB vérifient la paramétrisation de la droite dd.
      Concernant les abscisses nous avons :
      xB=2+t′x_B=2+t' ssi 0=2+t′0=2+t' ssi t′=−2t'=-2.
      En remplaçant dans la paramétrisation t′t' par −2-2 on obtient pour la cote :
      z=2−(−2)z=2-(-2) == 44 ≠\neq zBz_B.
      Ainsi BB n'appartient pas à dd.
      ✕
    2. Justifier que la paramétrisation suivante représente la droite (BC)(BC). {x=0y=−tz=2t+8,t∈R.\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 0 \\ y & = & -t \\ z & = & 2t+8 \end{array} \right., t\in\mathbb{R}.
      3. Correction
      Les coordonnées du vecteur BC→\overrightarrow{BC} sont :

      BC→\overrightarrow{BC} == (xC−xByC−yBzC−zB)\begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C - y_B \\ z_C - z_B \end{pmatrix} == (0−48)\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}.

      En regardant la paramétrisation proposée par l'énoncé nous voyons que le vecteur u⃗\vec{u} == (0−12)\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} dirige la droite qu'elle représente.
      Or, BC→=4u⃗\overrightarrow{BC} = 4\vec{u}. Ainsi la droite (BC)(BC) et la droite représentée par la paramétrisation sont parallèles.
      En remplaçant tt par 00 dans la paramétrisation nous obtenons que le point (0;0;8)(0\,;0\,;8) appartient à la droite qu'elle représente, mais c'est le point CC.
      Donc on a bien que cette paramétrisation représente la droite (BC)(BC) puisqu'elle représente une droite parallèle à (BC)(BC) passant par CC.
      ✕
    3. Déterminer la position relative des droites (AB)(AB) et dd.
      4. Correction
      À partir de la paramétrisation de dd nous voyons que le vecteur v⃗\vec{v} == (1 1 −1)\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} en est un vecteur directeur.
      Les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB} sont :

      AB→\overrightarrow{AB} == (xB−xAyB−yAzB−zA)\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix} == (−540)\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}.

      On a xAB→xv→\dfrac{x_{\overrightarrow{AB}}}{x_{\overrightarrow{v}}} == −5-5 ≠\neq yAB→yv→\dfrac{y_{\overrightarrow{AB}}}{y_{\overrightarrow{v}}} == 44.

      Ainsi ces vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les droites (AB)(AB) et dd ne sont pas parallèles.
      Pour déterminer si elles sont sécantes ou non il nous faut tout d'abord donner une paramétrisation de (AB)(AB) :
      {x=xAB→t+xAy=yAB→t+yAz=zAB→t+zA,t∈R\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & x_{\overrightarrow{AB}}t+x_A \\ y & = & y_{\overrightarrow{AB}}t+y_A \\ z & = & z_{\overrightarrow{AB}}t+z_A \end{array} \right., t\in\mathbb{R} ssi {x=−5t+5y=4tz=0,t∈R. \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & -5t+5 \\ y & = & 4t \\ z & = & 0 \end{array} \right., t\in\mathbb{R}.
      Pour voir donc si dd et (AB)(AB) sont sécantes ou non il nous reste à résoudre le système suivant : {2+t′=−5t+56+t′=4t2−t′=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{ \begin{array}{rcl} 2+t' & = & -5t+5 \\ 6+t' & = & 4t \\ 2-t' & = & 0 \end{array} \right. ssi {5t+t′=3−4t+t′=−6−t′=−2 \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} 5t+t' & = & 3 \\ -4t+t' & = & -6 \\ -t' & = & -2 \end{array} \right. ssi {5t+2=3−4t+2=−6t′=2 \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} 5t+2 & = & 3 \\ -4t+2 & = & -6 \\ t' & = & 2 \end{array} \right. ssi {5t=1−4t=−8t′=2 \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} 5t & = & 1 \\ -4t & = & -8 \\ t' & = & 2 \end{array} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ssi {t=15t=2t′=2. \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} t & = & \dfrac{1}{5} \\ t & = & 2 \\ t' & = & 2 \end{array} \right. .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, Nous voyons que ce système n'admet aucune solution (puisqu'on trouve deux valeurs différentes pour tt), ainsi les droites (AB)(AB) et dd ne sont pas sécantes.
      Puisqu'elles sont ni parallèles, ni sécantes on peut conclure qu'elles sont non coplanaires.
      ✕
Exercice 25 points Soit ff la fonction définie pour tout réel xx par f(x)=exx2+x+1.f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2+x+1}.
On note Cf\mathcal{C}_f la courbe représentative de la fonction ff dans un repère orthonormé du plan.
    1. Déterminer la limite de ff en −∞-\infty. Que peut-on en déduire pour Cf\mathcal{C}_f ?
      2. Correction
      On a lim⁡x→−∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^{x}} == 00.
      Par ailleurs :
      lim⁡x→−∞x2+x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2+x+1} == lim⁡x→−∞x2(1+xx2+1x2)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2\left(1 +\dfrac{x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2} \right)} == lim⁡x→−∞x2(1+1x+1x2)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2\left(1 +\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} \right)} == +∞+\infty.
      En effet : lim⁡x→−∞x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2} == +∞+\infty et lim⁡x→−∞1+1x+1x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}1 +\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}} == 1+0+01+0+0 == 11.
      Ainsi par quotient de limites on a lim⁡x→−∞exx2+x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2+x+1}} == 00.

      On peut en déduire que la droite d'équation y=0y=0 est asymptote horizontale à Cf\mathcal{C}_f en −∞-\infty.
      ✕
    2. Montrer que pour tout x>0x>0, f(x)=exx2(1+1x+1x2)f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} \right)}.
      3. Correction
      f(x)f(x) == exx2+x+1\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2+x+1}
      == exx2(1+xx2+1x2)\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2\left(1+\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right)}
      == exx2(1+1x+1x2)\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}.
      ✕
    3. En déduire lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}.
      4. Correction
      Puisque lim⁡x→+∞1x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}} == 00 et lim⁡x→+∞1x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^2}} == 00 on a :

      lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)} == lim⁡x→+∞exx2(1+1x+1x2)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}} == lim⁡x→+∞exx2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2}} == +∞+\infty par croissances comparées.
      ✕
  2. Montrer que pour tout réel xx, f′(x)=x(x−1)ex(x2+x+1)2f'(x)=\dfrac{x(x-1)\text{e}^{x}}{(x^2+x+1)^2}.
    3. Correction
    ff est de la forme uv\dfrac{u}{v} avec :
    u(x)=exu(x)=\text{e}^x et u′(x)=exu'(x)=\text{e}^x
    v(x)=x2+x+1v(x)=x^2+x+1 et v′(x)=2x+1v'(x)=2x+1.
    Ainsi, pour tout réel xx on a :
    f′(x)f'(x) == u′(x)v(x)−u(x)v(x)v2(x)\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v(x)}{v^2(x)}
    == ex(x2+x+1)−ex(2x+1)(x2+x+1)2\dfrac{\text{e}^x(x^2+x+1)-\text{e}^x(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}
    == ex(x2+x+1−(2x+1))(x2+x+1)2\dfrac{\text{e}^x(x^2+x+1-(2x+1))}{(x^2+x+1)^2}
    == ex(x2−x)(x2+x+1)2\dfrac{\text{e}^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}
    == exx(x−1)(x2+x+1)2\dfrac{\text{e}^xx(x-1)}{(x^2+x+1)^2}
    == x(x−1)ex(x2+x+1)2.\dfrac{x(x-1)\text{e}^x}{(x^2+x+1)^2}.
    ✕
  3. En déduire le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}.
    4. Correction
    Déterminons pour cela le signe de f′(x)=x(x−1)ex(x2+x+1)2f'(x) = \dfrac{x(x-1)\text{e}^x}{(x^2+x+1)^2} sur R\mathbb{R}.

    Nous avons,pour tout xx, que ex>0\text{e}^x>0 et (x2+x+1)2>0(x^2+x+1)^2>0.

    Ainsi, f′(x)f'(x) est du signe du polynôme du second degré x(x−1)x(x-1) qui a pour racines x=0x=0 et x=1x=1.

    Le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R} est donc :
    xx −∞-\infty 00 11 +∞+\infty f′(x)f'(x) ++ 0 −- 0 ++ 11 +∞+\infty f(x)f(x) croissante décroissante croissante 00 e3\frac{\text{e}}{3}
    xx−∞-\infty0011+∞+\infty
    f′(x)f'(x)++0−-0++
    11+∞+\infty
    f(x)f(x)
    00e3\frac{\text{e}}{3}
    En effet :
    f(0)=e002+0+1f(0)=\dfrac{\text{e}^0}{0^2+0+1} == 11 et f(1)=e112+1+1f(1)=\dfrac{\text{e}^1}{1^2+1+1} == e3\dfrac{\text{e}}{3}.
    ✕
  4. Déterminer l'équation réduite de la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d'abscisse 11.
    5. Correction
    L'équation réduite de la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d'abscisse 11 est :
    yy == f′(1)(x−1)+f(1)f'(1)(x-1)+f(1)
    yy == 0×(x−1)+e330\times(x-1)+\dfrac{\text{e}^3}{3}
    yy == e33.\dfrac{\text{e}^3}{3}.
    ✕
  5. Soit FF une fonction définie sur R\mathbb{R} telle que pour tout xx, F′(x)=f(x)F'(x)=f(x).
    Expliquer pourquoi la courbe représentative de FF dans un repère du plan ne peut pas être la suivante :
    6. 00.511.522.5−0.5−1−1.5−2−2.50.511.522.533.544.5−0.5
    Correction
    Pour tout réel xx, x2+x+1>0x^2+x+1 > 0 (son discriminant vaut −3<0-3<0) et ex>0\text{e}^x>0. Ainsi, pour tout xx, f(x)>0f(x)>0.
    On a donc que F′(x)>0F'(x)>0 (car F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)), ce qui veut dire que la fonction FF est strictement croissante sur R\mathbb{R}. Or, le graphique donné nous présente une fonction qui est décroissante sur un certain intervalle puis croissante sur un autre. Ainsi la courbe représentative de FF ne peut pas être représentée ici.
    ✕
Exercice 35 points On considère la suite (un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}} définie par u0=50u_0=50 et, pour tout entier naturel nn, par : un+1=0,82un+3.u_{n+1}=0,82u_n+3.
    1. Calculer u1u_1, u2u_2 et u3u_3.
      2. Correction
      u1=0,82u0+3u_1=0,82u_0+3 == 4444.
      u2=0,82u1+3u_2=0,82u_1+3 == 39,0839,08.
      u3=0,82u2+3u_3=0,82u_2+3 == 35,045635,045\,6.
      ✕
    2. Conjecturer le sens de variation de la suite (un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}}.
      3. Correction
      La suite (un)(u_n) semble être décroissante.
      ✕
    1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel nn on a : 16≤un+1≤un≤50.16\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 50.
      2. Correction
      Initialisation
      Pour n=0n=0 on a : u0=50u_0=50 et u1=44u_1=44. Ainsi on a bien : 16≤u1≤u0≤50.16\leq u_1\leq u_0\leq 50. La propriété est bien initialisée à n=0n=0.

      Hérédité
      Supposons que pour un certain entier nn : 16≤un+1≤un≤5016\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 50.
      Montrons alors que : 0≤un+2≤un+1≤500\leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 50.

      D'après l'hypothèse de récurrence on a :
      1616 ≤\leq un+1u_{n+1} ≤\leq unu_{n} ≤\leq 5050
      16×0,8216\times0,82 ≤\leq 0,82un+10,82u_{n+1} ≤\leq 0,82un+20,82u_{n+2} ≤\leq 50×0,8250\times0,82 car 0,82>00,82>0
      13,1213,12 ≤\leq 0,82un+10,82u_{n+1} ≤\leq 0,82un0,82u_{n} ≤\leq 4141
      13,12+313,12+3 ≤\leq 0,82un+1+30,82u_{n+1}+3 ≤\leq 0,82un+30,82u_{n}+3 ≤\leq 41+341+3 on ajoute 33 à chacun des membres
      16,1216,12 ≤\leq un+2u_{n+2} ≤\leq un+1u_{n+1} ≤\leq 4444 par définition de (un)(u_n).
      Ainsi, on a bien : 16≤un+2≤un+1≤50.16\leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 50.
      (En effet si un nombre est supérieur à 16,1216,12 il est bien supérieur à 1616, et de même tout nombre inférieur à 4444 est inférieur à 6060.)

      Conclusion
      D'après le principe de récurrence, pour tout entier nn : 16≤un+1≤un≤50.16\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 50.
      ✕
    2. En déduire que la suite (un)n∈N(u_n)_{n\in\mathbb{N}} est convergente.
      3. Correction
      D'après la question précédente, pour tout entier nn, un+1≤unu_{n+1}\leq u_{n}. La suite (un)(u_n) est donc décroissante. Elle est de plus minorée par 1616, on peut ainsi affirmer qu'elle est convergente.
      ✕
  3. Soit (vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}} la suite définie pour tout entier naturel nn par vn=un−503v_n=u_n-\dfrac{50}{3}.
    1. Justifier que (vn)n∈N(v_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
      2. Correction
      Pour tout entier nn, on a :
      vn+1v_{n+1} == un+1−503u_{n+1}-\dfrac{50}{3}
      == 0,82un+3−5030,82u_n+3-\dfrac{50}{3}
      == 0,82un−4130,82u_n-\dfrac{41}{3}
      == 0,82(un−4130,82)0,82\left(u_n-\dfrac{\frac{41}{3}}{0,82}\right)
      == 0,82(un−4134150)0,82\left(u_n-\dfrac{\frac{41}{3}}{\frac{41}{50}}\right)
      == 0,82(un−413×5041)0,82\left(u_n-\dfrac{41}{3}\times\dfrac{50}{41}\right)
      == 0,82(un−503)0,82\left(u_n-\dfrac{50}{3}\right)
      == 0,82vn0,82v_n.
      La suite (vn)(v_n) est ainsi géométrique de raison 0,820,82 et de premier terme v0=u0−503v_0=u_0-\dfrac{50}{3} == 50−50350-\dfrac{50}{3} == 1003\dfrac{100}{3}.
      ✕
    2. Montrer alors que pour tout entier naturel nn, un=503+1003×0,82nu_n=\dfrac{50}{3}+\dfrac{100}{3}\times 0,82^n.
      3. Correction
      Puisque la suite (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,820,82 et de premier terme v0=1003v_0=\dfrac{100}{3}, on a, pour tout entier nn :
      vn=v0×0,82nv_n=v_0\times 0,82^n == 1003×0,82n\dfrac{100}{3}\times0,82^n.

      Par ailleurs, pour tout entier nn :

      vn=un−503v_n=u_n-\dfrac{50}{3}, donc un=vn+503u_n=v_n+\dfrac{50}{3}.

      On peut alors conclure en affirmant que pour tout entier nn : un=1003×0,82n+503u_n=\dfrac{100}{3}\times0,82^n+\dfrac{50}{3}.
      ✕
    3. En déduire lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}.
      4. Correction
      Puisque 0,82∈[0;1[0,82\in[0\,;1[ on a lim⁡n→+∞0,82n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}0,82^n} == 00.

      Ainsi :
      lim⁡n→+∞un\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n} == lim⁡n→+∞503+1003×0,82n\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{50}{3}+\dfrac{100}{3}\times 0,82^n} == 503+1003×0\dfrac{50}{3}+\dfrac{100}{3}\times 0 == 503\dfrac{50}{3}.
      ✕
  4. Recopier et compléter les lignes 5, 6 et 8 de l'algorithme Python ci-contre pour qu'après exécution il renvoie la première valeur de nn telle que un≤16,67u_n \leq 16,67.
    5. Correction
    Nous sommes ici en présence d'un algorithme de recherche de seuil pour la suite (un)(u_n). Il faut donc que dans la boucle while on calcule au fur et à mesure les termes de la suite (un)(u_n) tout en incrémentant la valeur de nn.
    La ligne 5 est donc : n = n+1
    La ligne 6 : u = 0.82*u+3
    La ligne 8 : seuil(16.67)

    On peut vérifier cela avec l'algorithme ci-dessous qui ajoute un print pour afficher la valeur renvoyée par la fonction seuil.
    Exécuter
    


    ✕
    






















Exercice 45 points






Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.





Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.





Une réponse fausse ou une réponse multiple à une question enlève 0,250,25 point.


Une absence de réponse n'enlève, ni n'ajoute de point.












Question 1 : 

Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de 3131 élèves de terminale.



Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former 
un tel groupe de 5 élèves ?






	Réponse A 
 31531^5

	Réponse B 
 31×30×29×28×2731\times30\times29\times28\times27
			Réponse C 
 31+30+29+28+2731+30+29+28+27
			Réponse D 
 (315)\dbinom{31}{5}








Correction

Dans de tels groupes d'élèves l'ordre ne compte pas, donc le nombre de groupes de 55 élèves parmi les 3131 de cette classe vaut : (315)\dbinom{31}{5}.




Réponse D.

✕






Question 2 : 

La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe :


	
Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la
	spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?





	Réponse A 
 (203)×(112)\dbinom{20}{3} \times \dbinom{11}{2}

	Réponse B 
 (203)+(112)\dbinom{20}{3} + \dbinom{11}{2}
			Réponse C 
 (203)\dbinom{20}{3}
			Réponse D 
 203×11220^3 \times 11^2








Correction

Il y a (203)\dbinom{20}{3} façons de choisir 33 élèves parmi les 2020 qui font SES. 




Pour les deux autres élèves qu'il reste, ils doivent être choisis parmi les 1111 qui ne font pas SES. Il y a (112)\dbinom{11}{2}.




Le nombre de possibilités est donc de (203)×(112)\dbinom{20}{3}\times\dbinom{11}{2}.




Réponse A.

✕












Question 3 : 

La professeure choisit deux élèves au hasard pour les interroger sur le cours. Quelle est la probabilité que ces deux élèves suivent la spécialité physique-chimie ?






	Réponse A 
 (102)(312)\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{31}{2}}

	Réponse B 
 1031×931\dfrac{10}{31} \times \dfrac{9}{31}
			Réponse C 
 (102)\dbinom{10}{2}
			Réponse D 
 102312\dfrac{10^2}{31^2}






Correction

Nous allons ici utiliser la formule Nombre de cas favorablesNombre de cas possibles\dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} pour déterminer cette probabilité.






Le nombre de cas possibles est de (312)\dbinom{31}{2} (le nombre total de groupes de 22 élèves parmi les 3131 de la classe).






Le nombre de cas favorables est de (102)\dbinom{10}{2} car on choisit 22 parmi les 1010 qui suivent la spécialité physique-chimie.






Ainsi la probabilité cherchée est de (102)(312)\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{31}{2}}.






Réponse A.

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Question 4 : 

La professeure ramasse maintenant 1515 cahiers pour les noter. Quelle est la probabilité que parmi ces 1515 cahiers il y ait celui de l'élève suivant la spécialité LLCE espagnol.






	Réponse A 
 (3015)(3115)\dfrac{\binom{30}{15}}{ \binom{31}{15}}

	Réponse B 
 1−(3015)(3115) 1 - \dfrac{\binom{30}{15}}{\binom{31}{15}}
			Réponse C 
 1530\displaystyle\frac{15}{30}
			Réponse D 
 115\displaystyle \frac{1}{15}







Correction

Il existe plusieurs raisonnement pour trouver la bonne réponse ici. On peut chercher la probabilité de l'événement contraire, à savoir chercher la probabilité que parmi ces 1515 cahier il n'y ait pas celui de l'élève suivant la spécialité LLCE espagnol.




Tout d'abord le nombre de cas possibles est de (3115)\dbinom{31}{15} car on prend un groupe sans ordre de 1515 cahiers parmi 3131.




Ensuite, le nombre de groupe de 1515 cahiers sans qu'il y ait celui de l'élève suivant la spécialité LLCE espagnol est de (3015)\dbinom{30}{15} car on prend 1515 cahiers parmi les 3030 autres élèves.




Ainsi, la probabilité de l'événement contraire que l'on considère dans la question est de (3015)(3115)\dfrac{\binom{30}{15}}{\binom{31}{15}}, et celle de l'événement lui-même est de 1−(3015)(3115)1-\dfrac{\binom{30}{15}}{\binom{31}{15}}.






Réponse B.

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Question 5 : 

La professeure utilise l'algorithme ci-dessous :




Quel nombre ce dernier lui permet-il de calculer si elle exécute la commande denombre(31) ?







	Réponse A 
 31!31!

	Réponse B 
 A313A_{31}^{3}
			Réponse C 
 (313)\dbinom{31}{3}
			Réponse D 
 31!3!\dfrac{31!}{3!}







Correction

Plusieurs méthodes ici aussi. La première (assez longue) serait d'écrire et d'exécuter l'algorithme sur la calculatrice en y ajoutant un print(denombre(31)) à la fin pour voir le résultat et ensuite effectuer tous les calculs proposés dans les réponses et de trouver la bonne.






Sinon on peut analyser l'algorithme pour voir ce que l'on compte.



On peut y voir trois boucles for imbriquée dans lesquelles les variables ii, jj et kk prennent nn valeurs différentes.




La variable cc qui augmente de 11 à chaque fois que la condition k != j and k !=i and i != j est rempli, compte donc parmi les triplets (i;j;k)(i\,;j\,;k) ceux où les trois termes sont distincts.




L'ordre compte donc et il n'y a pas de répétition. Nous sommes en présence d'un arrangement de 33 éléments parmi nn. Ainsi, denombre(31) permet de calculer A313A_{31}^{3}.






Remarque : 



En exécutant l'algorithme ci-dessous, on voit que le résutlat affiché est 2697026\,970.




On sait de plus que A313A_{31}^{3} == 31×30×2931\times 30\times 29 == 2697026\,970. Ce qui confirme bien le raisonnement précédent.



Exécuter



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