BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE BLANCHE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ


MATHÉMATIQUES


Durée de l'épreuve : 4 heures


L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
5 points Dans un repère orthonormé de l'espace on considère les points $A(5\,;0\,;0)$, $B(0\,;4\,;0)$ et $C(0\,;0\,;8 )$.
On définit également une droite $d$ à l'aide de la représentation paramétrique suivante : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 2+t' \\ y & = & 6+t'\\ z & = & 2-t' \end{array} \right., t'\in\mathbb{R}.$$
    1. Déterminer l'aire du triangle $AOB$.
      2. Puisque $A$ appartient à l'axe des abscisses et $B$ à celui des ordonnées et que le repère est orthonormé, on a que le triangle $AOB$ est rectangle $O$.
      Son aire vaut donc :
      $\mathscr{A}$ $=$ $\dfrac{1}{2}OA\times OB$
      $=$ $\dfrac{1}{2}\sqrt{(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2+(z_A-z_O)^2}\times \sqrt{(x_B-x_O)^2+(y_B-y_O)^2+(z_B-z_O)^2}$
      $=$ $\dfrac{1}{2}\sqrt{5^2}\times \sqrt{4^2}$
      $=$ $10$.
    2. En déduire le volume du tétraèdre $AOBC$.
      3. Puisque $C$ appartient à l'axe des cotes nous avons que $(OC)$ est orthogonale au plan $(AOB)$ et représente donc une hauteur du tétraèdre $AOBC$.
      On a $OC=\sqrt{(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2+(z_C-z_O)^2}$ $=$ $\sqrt{8^2}$ $=$ $8$.
      Le volume du tétraèdre $AOBC$ est alors :
      $\mathscr{V}$ $=$ $\dfrac{1}{3}\mathscr{A}_{AOB}\times OC$ $=$ $\dfrac{1}{3}\times 10\times 8$ $=$ $\dfrac{80}{3}$.
    1. Le point $B$ appartient-il à $d$ ?
      2. Pour que le $B$ appartienne à $d$ il faut qu'il existe une valeur de $t'$ pour laquelle les coordonnées de $B$ vérifient la paramétrisation de la droite $d$.
      Concernant les abscisses nous avons :
      $x_B=2+t'$ ssi $0=2+t'$ ssi $t'=-2$.
      En remplaçant dans la paramétrisation $t'$ par $-2$ on obtient pour la cote :
      $z=2-(-2)$ $=$ $4$ $\neq$ $z_B$.
      Ainsi $B$ n'appartient pas à $d$.
    2. Justifier que la paramétrisation suivante représente la droite $(BC)$. $$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & 0 \\ y & = & -t \\ z & = & 2t+8 \end{array} \right., t\in\mathbb{R}.$$
      3. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ sont :

      $\overrightarrow{BC}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_C - x_B \\ y_C - y_B \\ z_C - z_B \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}$.

      En regardant la paramétrisation proposée par l'énoncé nous voyons que le vecteur $\vec{u}$ $=$ $\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ dirige la droite qu'elle représente.
      Or, $\overrightarrow{BC} = 4\vec{u}$. Ainsi la droite $(BC)$ et la droite représentée par la paramétrisation sont parallèles.
      En remplaçant $t$ par $0$ dans la paramétrisation nous obtenons que le point $(0\,;0\,;8)$ appartient à la droite qu'elle représente, mais c'est le point $C$.
      Donc on a bien que cette paramétrisation représente la droite $(BC)$ puisqu'elle représente une droite parallèle à $(BC)$ passant par $C$.
    3. Déterminer la position relative des droites $(AB)$ et $d$.
      4. À partir de la paramétrisation de $d$ nous voyons que le vecteur $\vec{v}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ -1 \end{pmatrix}$ en est un vecteur directeur.
      Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :

      $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$.

      On a $\dfrac{x_{\overrightarrow{AB}}}{x_{\overrightarrow{v}}}$ $=$ $-5$ $\neq$ $\dfrac{y_{\overrightarrow{AB}}}{y_{\overrightarrow{v}}}$ $=$ $4$.

      Ainsi ces vecteurs ne sont pas colinéaires et donc les droites $(AB)$ et $d$ ne sont pas parallèles.
      Pour déterminer si elles sont sécantes ou non il nous faut tout d'abord donner une paramétrisation de $(AB)$ :
      $$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & x_{\overrightarrow{AB}}t+x_A \\ y & = & y_{\overrightarrow{AB}}t+y_A \\ z & = & z_{\overrightarrow{AB}}t+z_A \end{array} \right., t\in\mathbb{R}$$ $$ \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & -5t+5 \\ y & = & 4t \\ z & = & 0 \end{array} \right., t\in\mathbb{R}.$$
      Pour voir donc si $d$ et $(AB)$ sont sécantes ou non il nous reste à résoudre le système suivant : $$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{ \begin{array}{rcl} 2+t' & = & -5t+5 \\ 6+t' & = & 4t \\ 2-t' & = & 0 \end{array} \right.$$ $$ \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} 5t+t' & = & 3 \\ -4t+t' & = & -6 \\ -t' & = & -2 \end{array} \right.$$ $$ \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} 5t+2 & = & 3 \\ -4t+2 & = & -6 \\ t' & = & 2 \end{array} \right.$$ $$ \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} 5t & = & 1 \\ -4t & = & -8 \\ t' & = & 2 \end{array} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$ $$ \text{ssi } \left\{ \begin{array}{rcl} t & = & \dfrac{1}{5} \\ t & = & 2 \\ t' & = & 2 \end{array} \right. .\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$ Nous voyons que ce système n'admet aucune solution (puisqu'on trouve deux valeurs différentes pour $t$), ainsi les droites $(AB)$ et $d$ ne sont pas sécantes.
      Puisqu'elles sont ni parallèles, ni sécantes on peut conclure qu'elles sont non coplanaires.
5 points Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2+x+1}.$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé du plan.
    1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_f$ ?
      2. On a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^{x}}$ $=$ $0$.
      Par ailleurs :
      $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2+x+1}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2\left(1 +\dfrac{x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2} \right)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2\left(1 +\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} \right)}$ $=$ $+\infty$.
      En effet : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2}$ $=$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}1 +\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$ $=$ $1+0+0$ $=$ $1$.
      Ainsi par quotient de limites on a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2+x+1}}$ $=$ $0$.

      On peut en déduire que la droite d'équation $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$.
    2. Montrer que pour tout $x>0$, $f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} \right)}$.
      3. $f(x)$ $=$ $\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2+x+1}$
      $=$ $\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2\left(1+\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right)}$
      $=$ $\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}$.
    3. En déduire $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$.
      4. Puisque $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x}}$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{x^2}}$ $=$ $0$ on a :

      $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x^2}}$ $=$ $+\infty$ par croissances comparées.
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{x(x-1)\text{e}^{x}}{(x^2+x+1)^2}$.
    3. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
    $u(x)=\text{e}^x$ et $u'(x)=\text{e}^x$
    $v(x)=x^2+x+1$ et $v'(x)=2x+1$.
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
    $f'(x)$ $=$ $\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v(x)}{v^2(x)}$
    $=$ $\dfrac{\text{e}^x(x^2+x+1)-\text{e}^x(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$
    $=$ $\dfrac{\text{e}^x(x^2+x+1-(2x+1))}{(x^2+x+1)^2}$
    $=$ $\dfrac{\text{e}^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}$
    $=$ $\dfrac{\text{e}^xx(x-1)}{(x^2+x+1)^2}$
    $=$ $\dfrac{x(x-1)\text{e}^x}{(x^2+x+1)^2}.$
  3. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    4. Déterminons pour cela le signe de $f'(x) = \dfrac{x(x-1)\text{e}^x}{(x^2+x+1)^2}$ sur $\mathbb{R}$.

    Nous avons,pour tout $x$, que $\text{e}^x>0$ et $(x^2+x+1)^2>0$.

    Ainsi, $f'(x)$ est du signe du polynôme du second degré $x(x-1)$ qui a pour racines $x=0$ et $x=1$.

    Le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ est donc :
    $x$ $-\infty$ $0$ $1$ $+\infty$ $f'(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$ $1$ $+\infty$ $f(x)$ croissante décroissante croissante $0$ $\frac{\text{e}}{3}$
    En effet :
    $f(0)=\dfrac{\text{e}^0}{0^2+0+1}$ $=$ $1$ et $f(1)=\dfrac{\text{e}^1}{1^2+1+1}$ $=$ $\dfrac{\text{e}}{3}$.
  4. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
    5. L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ est :
    $y$ $=$ $f'(1)(x-1)+f(1)$
    $y$ $=$ $0\times(x-1)+\dfrac{\text{e}^3}{3}$
    $y$ $=$ $\dfrac{\text{e}^3}{3}.$
  5. Soit $F$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x$, $F'(x)=f(x)$.
    Expliquer pourquoi la courbe représentative de $F$ dans un repère du plan ne peut pas être la suivante :
    6. Pour tout réel $x$, $x^2+x+1 > 0$ (son discriminant vaut $-3<0$) et $\text{e}^x>0$. Ainsi, pour tout $x$, $f(x)>0$.
    On a donc que $F'(x)>0$ (car $F'(x)=f(x)$), ce qui veut dire que la fonction $F$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Or, le graphique donné nous présente une fonction qui est décroissante sur un certain intervalle puis croissante sur un autre. Ainsi la courbe représentative de $F$ ne peut pas être représentée ici.
5 points On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $u_0=50$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1}=0,82u_n+3.$$
    1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
      2. $u_1=0,82u_0+3$ $=$ $44$.
      $u_2=0,82u_1+3$ $=$ $39,08$.
      $u_3=0,82u_2+3$ $=$ $35,045\,6$.
    2. Conjecturer le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.
      3. La suite $(u_n)$ semble être décroissante.
    1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$16\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 50.$$
      2. Initialisation
      Pour $n=0$ on a : $u_0=50$ et $u_1=44$. Ainsi on a bien : $$16\leq u_1\leq u_0\leq 50.$$ La propriété est bien initialisée à $n=0$.

      Hérédité
      Supposons que pour un certain entier $n$ : $16\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 50$.
      Montrons alors que : $0\leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 50$.

      D'après l'hypothèse de récurrence on a :
      $16$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $u_{n}$ $\leq$ $50$
      $16\times0,82$ $\leq$ $0,82u_{n+1}$ $\leq$ $0,82u_{n+2}$ $\leq$ $50\times0,82$ car $0,82>0$
      $13,12$ $\leq$ $0,82u_{n+1}$ $\leq$ $0,82u_{n}$ $\leq$ $41$
      $13,12+3$ $\leq$ $0,82u_{n+1}+3$ $\leq$ $0,82u_{n}+3$ $\leq$ $41+3$ on ajoute $3$ à chacun des membres
      $16,12$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $44$ par définition de $(u_n)$.
      Ainsi, on a bien : $$16\leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 50.$$
      (En effet si un nombre est supérieur à $16,12$ il est bien supérieur à $16$, et de même tout nombre inférieur à $44$ est inférieur à $60$.)

      Conclusion
      D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ : $$16\leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 50.$$
    2. En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente.
      3. D'après la question précédente, pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leq u_{n}$. La suite $(u_n)$ est donc décroissante. Elle est de plus minorée par $16$, on peut ainsi affirmer qu'elle est convergente.
  3. Soit $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-\dfrac{50}{3}$.
    1. Justifier que $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
      2. Pour tout entier $n$, on a :
      $v_{n+1}$ $=$ $u_{n+1}-\dfrac{50}{3}$
      $=$ $0,82u_n+3-\dfrac{50}{3}$
      $=$ $0,82u_n-\dfrac{41}{3}$
      $=$ $0,82\left(u_n-\dfrac{\frac{41}{3}}{0,82}\right)$
      $=$ $0,82\left(u_n-\dfrac{\frac{41}{3}}{\frac{41}{50}}\right)$
      $=$ $0,82\left(u_n-\dfrac{41}{3}\times\dfrac{50}{41}\right)$
      $=$ $0,82\left(u_n-\dfrac{50}{3}\right)$
      $=$ $0,82v_n$.
      La suite $(v_n)$ est ainsi géométrique de raison $0,82$ et de premier terme $v_0=u_0-\dfrac{50}{3}$ $=$ $50-\dfrac{50}{3}$ $=$ $\dfrac{100}{3}$.
    2. Montrer alors que pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{50}{3}+\dfrac{100}{3}\times 0,82^n$.
      3. Puisque la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,82$ et de premier terme $v_0=\dfrac{100}{3}$, on a, pour tout entier $n$ :
      $v_n=v_0\times 0,82^n$ $=$ $\dfrac{100}{3}\times0,82^n$.

      Par ailleurs, pour tout entier $n$ :

      $v_n=u_n-\dfrac{50}{3}$, donc $u_n=v_n+\dfrac{50}{3}$.

      On peut alors conclure en affirmant que pour tout entier $n$ : $u_n=\dfrac{100}{3}\times0,82^n+\dfrac{50}{3}$.
    3. En déduire $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$.
      4. Puisque $0,82\in[0\,;1[$ on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}0,82^n}$ $=$ $0$.

      Ainsi :
      $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{50}{3}+\dfrac{100}{3}\times 0,82^n}$ $=$ $\dfrac{50}{3}+\dfrac{100}{3}\times 0$ $=$ $\dfrac{50}{3}$.
  4. Recopier et compléter les lignes 5, 6 et 8 de l'algorithme Python ci-contre pour qu'après exécution il renvoie la première valeur de $n$ telle que $u_n \leq 16,67$. def seuil(a): n = 0 u = 50 while u > a: n = ... u = ... return n seuil(...)
    5. Nous sommes ici en présence d'un algorithme de recherche de seuil pour la suite $(u_n)$. Il faut donc que dans la boucle while on calcule au fur et à mesure les termes de la suite $(u_n)$ tout en incrémentant la valeur de $n$.
    La ligne 5 est donc : n = n+1
    La ligne 6 : u = 0.82*u+3
    La ligne 8 : seuil(16.67)

    On peut vérifier cela avec l'algorithme ci-dessous qui ajoute un print pour afficher la valeur renvoyée par la fonction seuil. def seuil(a): n = 0 u = 50 while u > a: n = n+1 u = 0.82*u+3 return n print(seuil(16.67))
5 points Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse ou une réponse multiple à une question enlève $0,25$ point. Une absence de réponse n'enlève, ni n'ajoute de point.

Question 1 : Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de $31$ élèves de terminale.
Elle veut former un groupe de 5 élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de 5 élèves ?
Réponse A
$31^5$ 		Réponse B
$31\times30\times29\times28\times27$ 		Réponse C
$31+30+29+28+27$ 		Réponse D
$\dbinom{31}{5}$
Dans de tels groupes d'élèves l'ordre ne compte pas, donc le nombre de groupes de $5$ élèves parmi les $31$ de cette classe vaut : $\dbinom{31}{5}$.
Réponse D. Question 2 : La professeure s'intéresse maintenant à l'autre spécialité des 31 élèves de son groupe : Elle veut former un groupe de 5 élèves comportant exactement 3 élèves ayant choisi la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?
Réponse A
$\dbinom{20}{3} \times \dbinom{11}{2}$ 		Réponse B
$\dbinom{20}{3} + \dbinom{11}{2}$ 		Réponse C
$\dbinom{20}{3}$ 		Réponse D
$20^3 \times 11^2$
Il y a $\dbinom{20}{3}$ façons de choisir $3$ élèves parmi les $20$ qui font SES.
Pour les deux autres élèves qu'il reste, ils doivent être choisis parmi les $11$ qui ne font pas SES. Il y a $\dbinom{11}{2}$.
Le nombre de possibilités est donc de $\dbinom{20}{3}\times\dbinom{11}{2}$.
Réponse A.

Question 3 : La professeure choisit deux élèves au hasard pour les interroger sur le cours. Quelle est la probabilité que ces deux élèves suivent la spécialité physique-chimie ?
Réponse A
$\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{31}{2}}$ 		Réponse B
$\dfrac{10}{31} \times \dfrac{9}{31}$ 		Réponse C
$\dbinom{10}{2}$ 		Réponse D
$\dfrac{10^2}{31^2}$
Nous allons ici utiliser la formule $\dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$ pour déterminer cette probabilité.

Le nombre de cas possibles est de $\dbinom{31}{2}$ (le nombre total de groupes de $2$ élèves parmi les $31$ de la classe).

Le nombre de cas favorables est de $\dbinom{10}{2}$ car on choisit $2$ parmi les $10$ qui suivent la spécialité physique-chimie.

Ainsi la probabilité cherchée est de $\dfrac{\binom{10}{2}}{\binom{31}{2}}$.

Réponse A.

Question 4 : La professeure ramasse maintenant $15$ cahiers pour les noter. Quelle est la probabilité que parmi ces $15$ cahiers il y ait celui de l'élève suivant la spécialité LLCE espagnol.
Réponse A
$\dfrac{\binom{30}{15}}{ \binom{31}{15}}$ 		Réponse B
$ 1 - \dfrac{\binom{30}{15}}{\binom{31}{15}}$ 		Réponse C
$\displaystyle\frac{15}{30}$ 		Réponse D
$\displaystyle \frac{1}{15}$
Il existe plusieurs raisonnement pour trouver la bonne réponse ici. On peut chercher la probabilité de l'événement contraire, à savoir chercher la probabilité que parmi ces $15$ cahier il n'y ait pas celui de l'élève suivant la spécialité LLCE espagnol.
Tout d'abord le nombre de cas possibles est de $\dbinom{31}{15}$ car on prend un groupe sans ordre de $15$ cahiers parmi $31$.
Ensuite, le nombre de groupe de $15$ cahiers sans qu'il y ait celui de l'élève suivant la spécialité LLCE espagnol est de $\dbinom{30}{15}$ car on prend $15$ cahiers parmi les $30$ autres élèves.
Ainsi, la probabilité de l'événement contraire que l'on considère dans la question est de $\dfrac{\binom{30}{15}}{\binom{31}{15}}$, et celle de l'événement lui-même est de $1-\dfrac{\binom{30}{15}}{\binom{31}{15}}$.

Réponse B. Question 5 : La professeure utilise l'algorithme ci-dessous : def denombre(n): c = 0 for i in range(0,n): for j in range(0,n): for k in range(0,n): if k != j and k !=i and i != j: c = c+1 return c Quel nombre ce dernier lui permet-il de calculer si elle exécute la commande denombre(31) ?
Réponse A
$31!$ 		Réponse B
$A_{31}^{3}$ 		Réponse C
$\dbinom{31}{3}$ 		Réponse D
$\dfrac{31!}{3!}$
Plusieurs méthodes ici aussi. La première (assez longue) serait d'écrire et d'exécuter l'algorithme sur la calculatrice en y ajoutant un print(denombre(31)) à la fin pour voir le résultat et ensuite effectuer tous les calculs proposés dans les réponses et de trouver la bonne.

Sinon on peut analyser l'algorithme pour voir ce que l'on compte.
On peut y voir trois boucles for imbriquée dans lesquelles les variables $i$, $j$ et $k$ prennent $n$ valeurs différentes.
La variable $c$ qui augmente de $1$ à chaque fois que la condition k != j and k !=i and i != j est rempli, compte donc parmi les triplets $(i\,;j\,;k)$ ceux où les trois termes sont distincts.
L'ordre compte donc et il n'y a pas de répétition. Nous sommes en présence d'un arrangement de $3$ éléments parmi $n$. Ainsi, denombre(31) permet de calculer $A_{31}^{3}$.

Remarque :
En exécutant l'algorithme ci-dessous, on voit que le résutlat affiché est $26\,970$.
On sait de plus que $A_{31}^{3}$ $=$ $31\times 30\times 29$ $=$ $26\,970$. Ce qui confirme bien le raisonnement précédent. def denombre(n): c = 0 for i in range(0,n): for j in range(0,n): for k in range(0,n): if k != j and k !=i and i != j: c = c+1 return c print(denombre(31))