Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°5 Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relier par une flèche chaque graphique à une ou plusieurs propositions de la deuxième colonne :
$\bullet$ 		$\bullet$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}$



$\bullet$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}$



$\bullet$ la courbe possède une asymptote verticale d'équation $y=3$.
$\bullet$ 		$\bullet$ la courbe possède une asymptote horizontale d'équation $y=-2$.



$\bullet$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}$



$\bullet$ $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}-2}f(x)=+\infty}$
$\bullet$ 		$\bullet$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0}$



$\bullet$ $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}2}f(x)=+\infty}$



$\bullet$ la courbe possède une asymptote horizontale d'équation $y=0$.
Graphique 1
On remarque deux asymptotes horizontales, l'une en $-\infty$ d'équation $y=-2$ et l'autre en $+\infty$ d'équation $y=3$.
Il n'y avait donc qu'une seule flèche à tracer vers la proposition : « la courbe possède une asymptote horizontale d'équation $y=-2$ ».

Graphique 2
La courbe ici possède une asympte horizontale en $-\infty$ et $+\infty$ d'équation $y=0$, ce qui veut dire que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0}$.
Par ailleurs, elle possède également deux asymptotes verticales d'équation $x=-2$ et $x=2$. On observe ainsi les limites suivantes :
$\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}-2}f(x)=-\infty}$ 1 $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}-2}f(x)=+\infty}$ 1 $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}2}f(x)=-\infty}$ 1 $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}2}f(x)=+\infty}$ 1
Les propositions qu'il faut relier au graphique 2 sont donc :
« $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}-2}f(x)=+\infty}$ »
« $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0}$ »
« la courbe possède une asymptote horizontale d'équation $y=0$ ».

Graphique 3
On remarque sur le graphique la courbe descend très vite vers le bas sur sa partie gauche. On peut donc conjecturer que $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}$.
Par ailleurs on voit que la courbe possède une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $+\infty$.
Les propositions à relier sont donc :
« $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}$ »
« la courbe possède une asymptote horizontale d'équation $y=0$ ». Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels, $n$ étant non nul et $k \leq n$.
On considère un ensemble $A$ de cardinal $n$.
  1. Donner la formule du nombre de $k$-arrangements de $A$.
    2. $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$.
  2. Donner la définition d'une combinaison de $k$ éléments de $A$.
    3. Une combinaison de $k$ éléments de $A$ est une partie de $A$ de cardinal $k$.
  3. Donner la formule que vérifie $\displaystyle{ \binom{n}{k} }$.
    4. $\displaystyle{ \binom{n}{k} } = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
Déterminer, en justifiant, les limites suivantes.
  1. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2-x+1}$.
    2. On a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2}$ $=$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}-x}$ $=$ $+\infty$, ainsi par somme de limites :

    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2-x+1}$ $=$ $+\infty$.
  2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-7}{x^3-3x+4}}$.
    3. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-7}{x^3-3x+4}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{7}{x^2}\right)}{x^3\left(1-\dfrac{3x}{x^3}+\dfrac{4}{x^3}\right)}}$
    $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-\dfrac{7}{x^2}}{x\left(1-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}\right)}}$.

    Or, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{7}{x^2}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3}{x^2}}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{4}{x^3}}$ $=$ $0$, et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty}$ donc, par produit et quotient de limites :

    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-7}{x^3-3x+4}}=0$.
  3. $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\text{e}^{\frac{10}{x}}}$.
    4. On a $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\dfrac{10}{x}=-\infty}$. Or, $\displaystyle{\lim_{X\rightarrow-\infty}\text{e}^X}$ $=$ $0$, donc par composition de limites :

    $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\text{e}^{\frac{10}{x}}}=0$.
  4. $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}1}\dfrac{5}{x-1}}$.
    5. On a $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}1}x-1}$ $=$ $0^{-}$, ainsi on a $\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}1}\dfrac{5}{x-1}}$ $=$ $-\infty$.
  5. $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}4}\dfrac{2-3x}{4-2x}}$.
    6. $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}4}\dfrac{2-3x}{4-2x}}$ $=$ $\dfrac{2-3\times4}{4-2\times4}$ $=$ $\dfrac{-10}{-4}$ $=$ $\dfrac{5}{2}$.
  6. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-x}$.
    7. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-x}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}\left(1-\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right)}$.
    Or, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}}$ $=$ $0$ (croissances comparées) et donc $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}1-\dfrac{x}{\text{e}^{x}}}$ $=$ $1$.

    De plus, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}}$ $=$ $+\infty$, ainsi par produit de limites on a :

    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-x}$ $=$ $+\infty$.