Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°5 Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relier par une flèche chaque graphique à une ou plusieurs propositions de la deuxième colonne :
02468−2−4−6−824−2−4
∙\bullet 		∙\bullet lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}



∙\bullet lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}



∙\bullet la courbe possède une asymptote verticale d'équation y=3y=3.
05−568−2−4−6−824−2−4
∙\bullet 		∙\bullet la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=−2y=-2.



∙\bullet lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}



∙\bullet lim⁡x⟶>−2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}-2}f(x)=+\infty}
024−2−41−1−2−3−4−5−6
∙\bullet 		∙\bullet lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0}



∙\bullet lim⁡x⟶>2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}2}f(x)=+\infty}



∙\bullet la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=0y=0.
Graphique 1
On remarque deux asymptotes horizontales, l'une en −∞-\infty d'équation y=−2y=-2 et l'autre en +∞+\infty d'équation y=3y=3.
Il n'y avait donc qu'une seule flèche à tracer vers la proposition : « la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=−2y=-2 ».

Graphique 2
La courbe ici possède une asympte horizontale en −∞-\infty et +∞+\infty d'équation y=0y=0, ce qui veut dire que lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0} et lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0}.
Par ailleurs, elle possède également deux asymptotes verticales d'équation x=−2x=-2 et x=2x=2. On observe ainsi les limites suivantes :
lim⁡x⟶<−2f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}-2}f(x)=-\infty} 1 lim⁡x⟶>−2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}-2}f(x)=+\infty} 1 lim⁡x⟶<2f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}2}f(x)=-\infty} 1 lim⁡x⟶>2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}2}f(x)=+\infty} 1
Les propositions qu'il faut relier au graphique 2 sont donc :
« lim⁡x⟶>−2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}-2}f(x)=+\infty} »
« lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0} »
« la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=0y=0 ».

Graphique 3
On remarque sur le graphique la courbe descend très vite vers le bas sur sa partie gauche. On peut donc conjecturer que lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}.
Par ailleurs on voit que la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=0y=0 en +∞+\infty.
Les propositions à relier sont donc :
« lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty} »
« la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=0y=0 ». Soit nn et kk deux entiers naturels, nn étant non nul et k≤nk \leq n.
On considère un ensemble AA de cardinal nn.
  1. Donner la formule du nombre de kk-arrangements de AA.
    2. Ank=n!(n−k)!A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}.
  2. Donner la définition d'une combinaison de kk éléments de AA.
    3. Une combinaison de kk éléments de AA est une partie de AA de cardinal kk.
  3. Donner la formule que vérifie (nk)\displaystyle{ \binom{n}{k} }.
    4. (nk)=n!k!(n−k)!\displaystyle{ \binom{n}{k} } = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
Déterminer, en justifiant, les limites suivantes.
  1. lim⁡x→−∞x2−x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2-x+1}.
    2. On a lim⁡x→−∞x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2} == +∞+\infty et lim⁡x→−∞−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}-x} == +∞+\infty, ainsi par somme de limites :

    lim⁡x→−∞x2−x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2-x+1} == +∞+\infty.
  2. lim⁡x→+∞x2−7x3−3x+4\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-7}{x^3-3x+4}}.
    3. lim⁡x→+∞x2−7x3−3x+4\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-7}{x^3-3x+4}} == lim⁡x→+∞x2(1−7x2)x3(1−3xx3+4x3)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{7}{x^2}\right)}{x^3\left(1-\dfrac{3x}{x^3}+\dfrac{4}{x^3}\right)}}
    == lim⁡x→+∞1−7x2x(1−3x2+4x3)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-\dfrac{7}{x^2}}{x\left(1-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}\right)}}.

    Or, lim⁡x→+∞7x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{7}{x^2}} == lim⁡x→+∞3x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3}{x^2}} == lim⁡x→+∞4x3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{4}{x^3}} == 00, et lim⁡x→+∞x=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty} donc, par produit et quotient de limites :

    lim⁡x→+∞x2−7x3−3x+4=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-7}{x^3-3x+4}}=0.
  3. lim⁡x⟶<0e10x\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\text{e}^{\frac{10}{x}}}.
    4. On a lim⁡x⟶<010x=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\dfrac{10}{x}=-\infty}. Or, lim⁡X→−∞eX\displaystyle{\lim_{X\rightarrow-\infty}\text{e}^X} == 00, donc par composition de limites :

    lim⁡x⟶<0e10x=0\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\text{e}^{\frac{10}{x}}}=0.
  4. lim⁡x⟶<15x−1\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}1}\dfrac{5}{x-1}}.
    5. On a lim⁡x⟶<1x−1\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}1}x-1} == 0−0^{-}, ainsi on a lim⁡x⟶<15x−1\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}1}\dfrac{5}{x-1}} == −∞-\infty.
  5. lim⁡x⟶>42−3x4−2x\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}4}\dfrac{2-3x}{4-2x}}.
    6. lim⁡x⟶>42−3x4−2x\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}4}\dfrac{2-3x}{4-2x}} == 2−3×44−2×4\dfrac{2-3\times4}{4-2\times4} == −10−4\dfrac{-10}{-4} == 52\dfrac{5}{2}.
  6. lim⁡x→+∞ex−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-x}.
    7. lim⁡x→+∞ex−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-x} == lim⁡x→+∞ex(1−xex)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}\left(1-\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right)}.
    Or, lim⁡x→+∞xex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}} == 00 (croissances comparées) et donc lim⁡x→+∞1−xex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}1-\dfrac{x}{\text{e}^{x}}} == 11.

    De plus, lim⁡x→+∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}} == +∞+\infty, ainsi par produit de limites on a :

    lim⁡x→+∞ex−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-x} == +∞+\infty.