Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°5 Nom - Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 1 Relier par une flèche chaque graphique à une ou plusieurs propositions de la deuxième colonne :
02468−2−4−6−824−2−4
∙\bullet 		∙\bullet lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty}



∙\bullet lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}



∙\bullet la courbe possède une asymptote verticale d'équation y=3y=3.
05−568−2−4−6−824−2−4
∙\bullet 		∙\bullet la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=−2y=-2.



∙\bullet lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}



∙\bullet lim⁡x⟶>−2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}-2}f(x)=+\infty}
024−2−41−1−2−3−4−5−6
∙\bullet 		∙\bullet lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0}



∙\bullet lim⁡x⟶>2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}2}f(x)=+\infty}



∙\bullet la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=0y=0.
Correction
Graphique 1
On remarque deux asymptotes horizontales, l'une en −∞-\infty d'équation y=−2y=-2 et l'autre en +∞+\infty d'équation y=3y=3.
Il n'y avait donc qu'une seule flèche à tracer vers la proposition : « la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=−2y=-2 ».

Graphique 2
La courbe ici possède une asympte horizontale en −∞-\infty et +∞+\infty d'équation y=0y=0, ce qui veut dire que lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0} et lim⁡x→+∞f(x)=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0}.
Par ailleurs, elle possède également deux asymptotes verticales d'équation x=−2x=-2 et x=2x=2. On observe ainsi les limites suivantes :
lim⁡x⟶<−2f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}-2}f(x)=-\infty}   lim⁡x⟶>−2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}-2}f(x)=+\infty}   lim⁡x⟶<2f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}2}f(x)=-\infty}   lim⁡x⟶>2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}2}f(x)=+\infty}  
Les propositions qu'il faut relier au graphique 2 sont donc :
« lim⁡x⟶>−2f(x)=+∞\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}-2}f(x)=+\infty} »
« lim⁡x→−∞f(x)=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=0} »
« la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=0y=0 ».

Graphique 3
On remarque sur le graphique la courbe descend très vite vers le bas sur sa partie gauche. On peut donc conjecturer que lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty}.
Par ailleurs on voit que la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=0y=0 en +∞+\infty.
Les propositions à relier sont donc :
« lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty} »
« la courbe possède une asymptote horizontale d'équation y=0y=0 ».
✕
Exercice 2 Soit nn et kk deux entiers naturels, nn étant non nul et k≤nk \leq n.
On considère un ensemble AA de cardinal nn.
  1. Donner la formule du nombre de kk-arrangements de AA.
    2. Correction
    Ank=n!(n−k)!A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}.
    ✕
  2. Donner la définition d'une combinaison de kk éléments de AA.
    3. Correction
    Une combinaison de kk éléments de AA est une partie de AA de cardinal kk.
    ✕
  3. Donner la formule que vérifie (nk)\displaystyle{ \binom{n}{k} }.
    4. Correction
    (nk)=n!k!(n−k)!\displaystyle{ \binom{n}{k} } = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
    ✕
Exercice 3 Déterminer, en justifiant, les limites suivantes.
  1. lim⁡x→−∞x2−x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2-x+1}.
    2. Correction
    On a lim⁡x→−∞x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2} == +∞+\infty et lim⁡x→−∞−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}-x} == +∞+\infty, ainsi par somme de limites :

    lim⁡x→−∞x2−x+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2-x+1} == +∞+\infty.
    ✕
  2. lim⁡x→+∞x2−7x3−3x+4\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-7}{x^3-3x+4}}.
    3. Correction
    lim⁡x→+∞x2−7x3−3x+4\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-7}{x^3-3x+4}} == lim⁡x→+∞x2(1−7x2)x3(1−3xx3+4x3)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{7}{x^2}\right)}{x^3\left(1-\dfrac{3x}{x^3}+\dfrac{4}{x^3}\right)}}
    == lim⁡x→+∞1−7x2x(1−3x2+4x3)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-\dfrac{7}{x^2}}{x\left(1-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}\right)}}.

    Or, lim⁡x→+∞7x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{7}{x^2}} == lim⁡x→+∞3x2\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{3}{x^2}} == lim⁡x→+∞4x3\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{4}{x^3}} == 00, et lim⁡x→+∞x=+∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty} donc, par produit et quotient de limites :

    lim⁡x→+∞x2−7x3−3x+4=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2-7}{x^3-3x+4}}=0.
    ✕
  3. lim⁡x⟶<0e10x\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\text{e}^{\frac{10}{x}}}.
    4. Correction
    On a lim⁡x⟶<010x=−∞\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\dfrac{10}{x}=-\infty}. Or, lim⁡X→−∞eX\displaystyle{\lim_{X\rightarrow-\infty}\text{e}^X} == 00, donc par composition de limites :

    lim⁡x⟶<0e10x=0\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}0}\text{e}^{\frac{10}{x}}}=0.
    ✕
  4. lim⁡x⟶<15x−1\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}1}\dfrac{5}{x-1}}.
    5. Correction
    On a lim⁡x⟶<1x−1\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}1}x-1} == 0−0^{-}, ainsi on a lim⁡x⟶<15x−1\displaystyle{\lim_{x\overset{<}{\longrightarrow}1}\dfrac{5}{x-1}} == −∞-\infty.
    ✕
  5. lim⁡x⟶>42−3x4−2x\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}4}\dfrac{2-3x}{4-2x}}.
    6. Correction
    lim⁡x⟶>42−3x4−2x\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\longrightarrow}4}\dfrac{2-3x}{4-2x}} == 2−3×44−2×4\dfrac{2-3\times4}{4-2\times4} == −10−4\dfrac{-10}{-4} == 52\dfrac{5}{2}.
    ✕
  6. lim⁡x→+∞ex−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-x}.
    7. Correction
    lim⁡x→+∞ex−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-x} == lim⁡x→+∞ex(1−xex)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}\left(1-\dfrac{x}{\text{e}^{x}}\right)}.
    Or, lim⁡x→+∞xex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}} == 00 (croissances comparées) et donc lim⁡x→+∞1−xex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}1-\dfrac{x}{\text{e}^{x}}} == 11.

    De plus, lim⁡x→+∞ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}} == +∞+\infty, ainsi par produit de limites on a :

    lim⁡x→+∞ex−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{x}-x} == +∞+\infty.
    ✕