Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°6 Exercice 1 Une entreprise fabrique des casques audio. Après étude, on estime que la proportion de casques qui présentent un défaut est de 3,63,6 %.
On récupère un lot de nn casques de cette entreprise. La production est suffisamment importante pour que cet échantillon soit considéré comme le résultat d'un tirage avec remise.
On note XX la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.
  1. Dans cette question, n=35n = 35.
    1. Justifier que XX suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
      2. Correction
      Le fait de regarder si un casque présente un défaut ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,0360,036. On la répète 3535 fois de façon indépendante (tirage avec remise).
      Ainsi, XX suit la loi binomiale de paramètres 3535 et 0,0360,036.
      ✕
    2. Calculer la probabilité qu'il y ait parmi ce lot de casques, exactement deux casques présentant un défaut de conception.
      3. Correction
      On cherche ici P(X=2)P(X=2).

      P(X=2)=(352)0,0362(1−0,036)33P(X=2)=\displaystyle{\binom{35}{2}0,036^2(1-0,036)^{33}} ≈\approx 0,2300,230 (à la calculatrice).
      ✕
    3. Déterminer P(X≥5)P(X \geq 5).
      4. Correction
      À la calculatrice on a : P(X≥5)P(X \geq 5) ≈\approx 0,0080,008.
      ✕
    4. Calculer la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, au moins un casque présent un défaut de conception.
      5. Correction
      On cherche ici : P(X≥1)P(X \geq 1).
      Or, P(X≥1)P(X \geq 1) == 1−P(X=0)1-P(X=0) == 1−0,964351-0,964^{35} ≈\approx 0,7230,723.

      Remarque : on peut calculer directement à la calculatrice P(X≥1)P(X \geq 1).
      ✕
  2. Dans cette question, nn n'est pas fixé.
    Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieur à 0,990,99 ?
    3. Correction
    Dans cette question XX suit la loi binomiale de paramètres nn et 0,0360,036.
    On cherche donc la valeur de nn tel que :
    P(X≥1)P(X\geq1) ≥\geq 0,990,99
    1−P(X=0)1-P(X=0) ≥\geq 0,990,99
    1−0,964n1-0,964^n ≥\geq 0,990,99
    −0,964n-0,964^n ≥\geq 0,99−10,99-1
    −0,964n-0,964^n ≥\geq −0,01-0,01
    0,964n0,964^n ≤\leq 0,010,01.
    Or, 0,964n0,964^n est le terme générale d'une suite géométrique décroissante convergeant vers 00 (car sa raison est 0,96∈[0;1[0,96 \in [0\,;1[).
    En faisant des tests à la calculatrice on trouve : 0,964125≈0,0102>0,010,964^{125} \approx 0,0102 > 0,01 et 0,964126≈0,099<0,010,964^{126} \approx 0,099 < 0,01.
    Ainsi, le premier entier nn qui convient est 126126. Il faut donc que le nombre minimal de casques soit de 126126.
    ✕
Exercice 2 Soient ff, gg et hh les trois fonctions définies sur R\mathbb{R} par :
f(x)=e−2xf(x)=\text{e}^{-2x}

g(x)=x+1x2+1g(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}

h(x)=3+x2h(x)=\sqrt{3+x^2}.
On note respectivement Cf\mathcal{C}_f, Cg\mathcal{C}_g et Ch\mathcal{C}_h leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
On considère enfin la droite dd d'équation y=−12x+32y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}.

La droite dd est la tangente au point d'abscisse 11 de l'une des courbes Cf\mathcal{C}_f, Cg\mathcal{C}_g ou Ch\mathcal{C}_h. Déterminer laquelle en justifiant votre réponse.
Correction
On peut ici déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 11 pour chacune des trois courbes et regarder celle qui correspond à celle de la droite dd.

Tangente à Cf\mathcal{C}_f en x=1x=1
Pour tout réel xx on a : f′(x)=−2e−2xf'(x)=-2\text{e}^{-2x}.
Ainsi l'équation de la tangente à Cf\mathcal{C}_f en x=1x=1 est :
yy == f′(1)(x−1)+f(1)f'(1)(x-1)+f(1)
yy == −2e−2(x−1)+e−2-2\text{e}^{-2}(x-1)+\text{e}^{-2}.
Les exponentielles ici ne peuvent pas disparaître, l'expression ne pourra jamais être la même que celle de l'équation de dd.

Tangente à Cg\mathcal{C}_g en x=1x=1
gg est de la forme uv\dfrac{u}{v} avec :
u(x)=x+1u(x)=x+1 et u′(x)=1u'(x)=1
v(x)=x2+1v(x)=x^2+1 et v′(x)=2xv'(x)=2x

Ainsi, pour tout réel xx :
g′(x)g'(x) == u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}
== x2+1−(x+1)2x(x2+1)2\dfrac{x^2+1-(x+1)2x}{(x^2+1)^2}
== x2+1−2x2−2x(x2+1)2\dfrac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}
== −x2−2x+1(x2+1)2\dfrac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}.
On a alors que le coefficient directeur de la tangente à Cg\mathcal{C}_g en x=1x=1 vaut g′(1)=−1−2+1(1+1)2g'(1)=\dfrac{-1-2+1}{(1+1)^2} == −24\dfrac{-2}{4} == −12-\dfrac{1}{2}.
L'équation de la tangente à Cg\mathcal{C}_g en x=1x=1 est donc :
yy == g′(1)(x−1)+g(1)g'(1)(x-1)+g(1)
yy == −12(x−1)+22-\dfrac{1}{2}(x-1)+\dfrac{2}{2}
yy == −12x+12+22-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}
yy == −12x+32-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}.
C'est bien l'équation de dd. Donc la droite dd est la tangente au point d'absisse 1 à Cg\mathcal{C}_g.
✕
Exercice 3 Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(x2+1)e−xf(x)=(x^2+1)\text{e}^{-x}.
  1. Déterminer lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)} et lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}.
    2. Correction
    Limite en −∞-\infty
    On a : lim⁡x→−∞x2+1\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2+1} == +∞+\infty et lim⁡x→−∞e−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^{-x}} == +∞+\infty .
    Ainsi, par produit de limites : lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)} == +∞+\infty.

    Limite en +∞+\infty
    Pour tout réel xx : f(x)=(x2+1)e−xf(x)=(x^2+1)\text{e}^{-x} == x2e−x+e−xx^2\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x} == x2ex+e−x\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}+\text{e}^{-x}.
    Or, par croissances comparées : lim⁡x→+∞x2ex\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^x}} == 00.
    De plus : lim⁡x→+∞e−x\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{-x}} == 00.

    Ainsi, par somme de limites : lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)} == 00.
    ✕
  2. Justifier que pour tout réel xx, f′(x)=−(x−1)2e−xf'(x)=-(x-1)^2\text{e}^{-x}.
    3. Correction
    ff est de la forme u×vu\times v avec :
    u(x)=x2+1u(x)=x^2+1 et u′(x)=2xu'(x)=2x
    v(x)=e−xv(x)=\text{e}^{-x} et v′(x)=−e−xv'(x)=-\text{e}^{-x}.

    Ainsi pour tout réel xx :
    f′(x)f'(x) == u′(x)v(x)+u(x)v′(x)u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
    == 2xe−x+(x2+1)×(−e−x)2x\text{e}^{-x}+(x^2+1)\times(-\text{e}^{-x})
    == e−x(2x−(x2+1))\text{e}^{-x}\left(2x-(x^2+1)\right)
    == e−x(−x2+2x−1)\text{e}^{-x}\left(-x^2+2x-1\right)
    == −e−x(x2−2x+1)-\text{e}^{-x}\left(x^2-2x+1\right)
    == −e−x(x−1)2-\text{e}^{-x}\left(x-1\right)^2
    == −(x−1)2e−x-\left(x-1\right)^2\text{e}^{-x}.
    ✕
  3. Dresser alors le tableau de variations de ff sur R\mathbb{R}.
    4. Correction
    On a que pour tout réel xx, f′(x)=−(x−1)2e−xf'(x)=-\left(x-1\right)^2\text{e}^{-x}.
    Puisque e−x>0\text{e}^{-x} > 0 et (x−1)2>0(x-1)^2 > 0 (sauf pour x=1x=1 où x−1=0x-1 = 0), alors pour tout réel xx, f′(x)≤0f'(x) \leq 0.
    On a alors le tableau de variations suivant :
    xx
    −∞-\infty
    11
    +∞+\infty
    f′(x)f'(x)
    −-
    −-
    00
    f(x)f(x)
    +∞+\infty
    00
    ✕