Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°6 Une entreprise fabrique des casques audio. Après étude, on estime que la proportion de casques qui présentent un défaut est de $3,6$ %.
On récupère un lot de $n$ casques de cette entreprise. La production est suffisamment importante pour que cet échantillon soit considéré comme le résultat d'un tirage avec remise.
On note $X $la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.
  1. Dans cette question, $n = 35$.
    1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
      2. Le fait de regarder si un casque présente un défaut ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,036$. On la répète $35$ fois de façon indépendante (tirage avec remise).
      Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $35$ et $0,036$.
    2. Calculer la probabilité qu'il y ait parmi ce lot de casques, exactement deux casques présentant un défaut de conception.
      3. On cherche ici $P(X=2)$.

      $P(X=2)=\displaystyle{\binom{35}{2}0,036^2(1-0,036)^{33}}$ $\approx$ $0,230$ (à la calculatrice).
    3. Déterminer $P(X \geq 5)$.
      4. À la calculatrice on a : $P(X \geq 5)$ $\approx$ $0,008$.
    4. Calculer la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, au moins un casque présent un défaut de conception.
      5. On cherche ici : $P(X \geq 1)$.
      Or, $P(X \geq 1)$ $=$ $1-P(X=0)$ $=$ $1-0,964^{35}$ $\approx$ $0,723$.

      Remarque : on peut calculer directement à la calculatrice $P(X \geq 1)$.
  2. Dans cette question, $n$ n'est pas fixé.
    Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieur à $0,99$ ?
    3. Dans cette question $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,036$.
    On cherche donc la valeur de $n$ tel que :
    $P(X\geq1)$ $\geq$ $0,99$
    $1-P(X=0)$ $\geq$ $0,99$
    $1-0,964^n$ $\geq$ $0,99$
    $-0,964^n$ $\geq$ $0,99-1$
    $-0,964^n$ $\geq$ $-0,01$
    $0,964^n$ $\leq$ $0,01$.
    Or, $0,964^n$ est le terme générale d'une suite géométrique décroissante convergeant vers $0$ (car sa raison est $0,96 \in [0\,;1[$).
    En faisant des tests à la calculatrice on trouve : $0,964^{125} \approx 0,0102 > 0,01$ et $0,964^{126} \approx 0,099 < 0,01$.
    Ainsi, le premier entier $n$ qui convient est $126$. Il faut donc que le nombre minimal de casques soit de $126$.
Soient $f$, $g$ et $h$ les trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x)=\text{e}^{-2x}$

$g(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$

$h(x)=\sqrt{3+x^2}$.
On note respectivement $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
On considère enfin la droite $d$ d'équation $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$.

La droite $d$ est la tangente au point d'abscisse $1$ de l'une des courbes $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$ ou $\mathcal{C}_h$. Déterminer laquelle en justifiant votre réponse. On peut ici déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ pour chacune des trois courbes et regarder celle qui correspond à celle de la droite $d$.

Tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x=1$
Pour tout réel $x$ on a : $f'(x)=-2\text{e}^{-2x}$.
Ainsi l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $x=1$ est :
$y$ $=$ $f'(1)(x-1)+f(1)$
$y$ $=$ $-2\text{e}^{-2}(x-1)+\text{e}^{-2}$.
Les exponentielles ici ne peuvent pas disparaître, l'expression ne pourra jamais être la même que celle de l'équation de $d$.

Tangente à $\mathcal{C}_g$ en $x=1$
$g$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
$u(x)=x+1$ et $u'(x)=1$
$v(x)=x^2+1$ et $v'(x)=2x$

Ainsi, pour tout réel $x$ :
$g'(x)$ $=$ $\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
$=$ $\dfrac{x^2+1-(x+1)2x}{(x^2+1)^2}$
$=$ $\dfrac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}$
$=$ $\dfrac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$.
On a alors que le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_g$ en $x=1$ vaut $g'(1)=\dfrac{-1-2+1}{(1+1)^2}$ $=$ $\dfrac{-2}{4}$ $=$ $-\dfrac{1}{2}$.
L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_g$ en $x=1$ est donc :
$y$ $=$ $g'(1)(x-1)+g(1)$
$y$ $=$ $-\dfrac{1}{2}(x-1)+\dfrac{2}{2}$
$y$ $=$ $-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}$
$y$ $=$ $-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$.
C'est bien l'équation de $d$. Donc la droite $d$ est la tangente au point d'absisse 1 à $\mathcal{C}_g$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2+1)\text{e}^{-x}$.
  1. Déterminer $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$.
    2. Limite en $-\infty$
    On a : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}x^2+1}$ $=$ $+\infty$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}\text{e}^{-x}}$ $=$ $+\infty$ .
    Ainsi, par produit de limites : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)}$ $=$ $+\infty$.

    Limite en $+\infty$
    Pour tout réel $x$ : $f(x)=(x^2+1)\text{e}^{-x}$ $=$ $x^2\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}$ $=$ $\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}+\text{e}^{-x}$.
    Or, par croissances comparées : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^x}}$ $=$ $0$.
    De plus : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{-x}}$ $=$ $0$.

    Ainsi, par somme de limites : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)}$ $=$ $0$.
  2. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=-(x-1)^2\text{e}^{-x}$.
    3. $f$ est de la forme $u\times v$ avec :
    $u(x)=x^2+1$ et $u'(x)=2x$
    $v(x)=\text{e}^{-x}$ et $v'(x)=-\text{e}^{-x}$.

    Ainsi pour tout réel $x$ :
    $f'(x)$ $=$ $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $=$ $2x\text{e}^{-x}+(x^2+1)\times(-\text{e}^{-x})$
    $=$ $\text{e}^{-x}\left(2x-(x^2+1)\right)$
    $=$ $\text{e}^{-x}\left(-x^2+2x-1\right)$
    $=$ $-\text{e}^{-x}\left(x^2-2x+1\right)$
    $=$ $-\text{e}^{-x}\left(x-1\right)^2$
    $=$ $-\left(x-1\right)^2\text{e}^{-x}$.
  3. Dresser alors le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    4. On a que pour tout réel $x$, $f'(x)=-\left(x-1\right)^2\text{e}^{-x}$.
    Puisque $\text{e}^{-x} > 0$ et $(x-1)^2 > 0$ (sauf pour $x=1$ où $x-1 = 0$), alors pour tout réel $x$, $f'(x) \leq 0$.
    On a alors le tableau de variations suivant :