$P(R \cap E)$ $=$ $P(R)\times P_R(E)$ $=$ $0,07\times0,8$ $=$ $0,056$.

D'après la formule des probabilités totales on a :

$P(E)=P(R\cap E)+P(\overline{R}\cap E)$ $=$ $0,056+0,93\times0,4$ $=$ $0,428$.

On cherche ici $P_E(R)$.

$P_E(R)=\dfrac{P(R\cap E)}{P(E)}$ $=$ $\dfrac{0,056}{0,428}$ $=$ $\dfrac{14}{107}$ $\approx$ $0,131$.

Le fait d'obtenir un objet et qu'il soit rare ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,07$. On la répète $30$ fois de manière indépendante. Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $30$ et $0,07$.
On a $E(X) = 30\times0,07$ $=$ $2,1$.

À l'aide de la calculatrice on obtient $P( X < 6) = P( X \leq 5) \approx 0,984$.

À la calculatrice on obtient que $P(X \geq 2) \approx 0,631$ et $P(X \geq 3) \approx 0,351$.
Ainsi la valeur cherchée pour $k$ est $2$.
Ceci signifique que pour que la probabilité d'obtenir au moins deux objets rares est supérieure à $0,5$.

On note ici $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'objets rares obtenus par le joueur après avoir remporté $N$ défis.
Pour les mêmes raisons que $X$, on a que $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $0,07$. On cherche donc la valeur de $N$ tel que :

$P(Y\geq 1)$	$\geq$	$0,95$
$1-P(Y = 0)$	$\geq$	$0,95$
$-P(Y = 0)$	$\geq$	$0,95-1$
$-P(Y = 0)$	$\geq$	$-0,05$
$P(Y = 0)$	$\leq$	$0,05$
$0,93^N$	$\leq$	$0,05$.

Nous savons que $0,93^N$ est le terme général d'une suite géométrie de raison $0,93\in[0\,;1[$ et de premier terme $1>0$. Ainsi cette suite est strictement décroissante et converge vers $0$.
De plus $0,93^{41}\approx 0,051 > 0,5$ et $0,93^{42}\approx 0,047 < 0,5$, il faut donc que $N=42$.
On peut donc affirmer qu'à partir de $42$ définis remportés la probabilité que le joueur obtienne au moins un objet rare est supérieure à $0,95$.

Limite en $-1$
Ici $x$ tend vers $-1^{+}$, donc $x+1$ tend vers $0^{+}$ et donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-1}\dfrac{5}{x+1}=+\infty}$.

On a donc que $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-1}f(x)=+\infty}$.

Limite en $+\infty$
On a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{-x}=0}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{5}{x+1}=0}$.

Ainsi par somme de limites : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-1}$.

Pour tout $x\in]-1\,;+\infty[$ on a :
$f'(x)=-\text{e}^{-x}-\dfrac{5}{(x+1)^2}$.

Puisque pour tout $x\in]-1\,;+\infty[$, $\text{e}^{-x}>0$ et $(x+1)^2>0$, alors $f'(x)=-\left( \text{e}^{-x}+\dfrac{5}{(x+1)^2}\right) < 0$ et la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-1\,;+\infty[$.
Le tableau de variations de $f$ est donc :

Sur l'intervalle $]-1\,; +\infty[$ :

• La fonction $f$ est continue car dérivable ;
• La fonction $f$ est strictement décroissante ;
• $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-1}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-1}$.

Ainsi, d'après le théorème de la bijection l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]-1\,; +\infty[$.

Par balayage à la calculatrice on a :

$4$	$\leq$	$\alpha$	$\leq$	$5$
$4$	$\leq$	$\alpha$	$\leq$	$4,1$
$4,08$	$\leq$	$\alpha$	$\leq$	$4,09$
$4,085$	$\leq$	$\alpha$	$\leq$	$4,086$ .

Ainsi, à $10^{-2}$ près, $\alpha \approx 4,09$.

Puisque $\alpha$ est solution de l'équation $f(x)=0$ on a :

$f(\alpha)$	$=$	$0$
$\text{e}^{-\alpha}+\dfrac{5}{\alpha+1}-1$	$=$	$0$
$\text{e}^{-\alpha}$	$=$	$-\dfrac{5}{\alpha+1}+1$
$\text{e}^{-\alpha}$	$=$	$-\dfrac{5}{\alpha+1}+\dfrac{\alpha+1}{\alpha+1}$
$\text{e}^{-\alpha}$	$=$	$\dfrac{-5+\alpha+1}{\alpha+1}$
$\text{e}^{-\alpha}$	$=$	$\dfrac{\alpha-4}{\alpha+1}$
$\dfrac{1}{\text{e}^{\alpha}}$	$=$	$\dfrac{\alpha-4}{\alpha+1}$
$\text{e}^{\alpha}$	$=$	$\dfrac{\alpha+1}{\alpha-4}$.

$u_1=g(u_0)$ $=$ $g(0,4)$ $=$ $0,26$.
$u_2 = g(u_1)$ $=$ $0,167\,6$.
$u_3 = g(u_2)$ $\approx$ $0,128\,1$.

Initialisation
On a $u_0=0,4$ et $u_1=0,26$, ainsi : $0\leq u_1 \leq u_0.$ L'encadrement est bien vérifié pour $n=0$.

Hérédité
On suppose que pour un certain entier $n$ : $0\leq u_{n+1} \leq u_n.$ On cherche alors à montrer : $0\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}.$ On remarque tout d'abord que la fonction $g$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ car sa fonction dérivée $g'(x)=2x$ est positive sur cet intervalle.
Par ailleurs, d'après l'hypothèse de récurrence on a :

$0$	$\leq$	$u_{n+1}$	$\leq$	$u_{n}$
$g(0)$	$\leq$	$g(u_{n+1})$	$\leq$	$g(u_{n})$	car $g$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$
$0,26$	$\leq$	$u_{n+2}$	$\leq$	$u_{n+1}$
$0$	$\leq$	$u_{n+2}$	$\leq$	$u_{n+1}$	car $0 < 0,26$.

Conclusion
D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ on a : $0\leq u_{n+1} \leq u_n.$

D'après la question précédente on a que pour tout entier $n$, $0\leq u_n$, donc la suite $(u_n)$ est minorée par $0$, et puisque pour tout entier $u_{n+1} \leq u_n$, elle est également décroissante.
Ainsi $(u_n)$ étant décroissante et minorée, elle est convergente.

La suite $(u_n)$ étant convergente et étant définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=g(u_n)$ avec $g$ continue sur $\mathbb{R}$, alors sa limite $\ell$ est solution de l'équation $g(x)=x$.
Résolvons cette équation :

$g(x)$	$=$	$x$
$x^2+0,1$	$=$	$x$
$x^2-x+0,1$	$=$	$0$.

En notant $\Delta$ le discriminant associé à cette équation on a :
$\Delta = (-1)^2-4\times0,1$ $=$ $0,6 > 0$.
Les deux solutions de cette équations sont donc :
$x_1=\dfrac{1-\sqrt{0,6}}{2}$ $=$ $\dfrac{5-\sqrt{15}}{10}$ $\approx$ $0,11$ ;
et
$x_2=\dfrac{1+\sqrt{0,6}}{2}$ $=$ $\dfrac{5+\sqrt{15}}{10}$ $\approx$ $0,89$.

On a que $u_0=0,4$ et que la suite $(u_n)$ est décroissante donc la seule limite possible est $x_1$ et ainsi : $\ell = \dfrac{5-\sqrt{15}}{10}.$