Devoir commun n°2

ÉPREUVE BLANCHE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ


MATHÉMATIQUES


Durée de l'épreuve : 2 heures


L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
8 points Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers. Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que : Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :
  1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.
    2. $P(R \cap E)$ $=$ $P(R)\times P_R(E)$ $=$ $0,07\times0,8$ $=$ $0,056$.
  2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
    3. D'après la formule des probabilités totales on a :

    $P(E)=P(R\cap E)+P(\overline{R}\cap E)$ $=$ $0,056+0,93\times0,4$ $=$ $0,428$.
  3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
    4. On cherche ici $P_E(R)$.

    $P_E(R)=\dfrac{P(R\cap E)}{P(E)}$ $=$ $\dfrac{0,056}{0,428}$ $=$ $\dfrac{14}{107}$ $\approx$ $0,131$.
Partie B Un joueur remporte $30$ défis.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.
  1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
    2. Le fait d'obtenir un objet et qu'il soit rare ou non est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,07$. On la répète $30$ fois de manière indépendante. Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $30$ et $0,07$.
    On a $E(X) = 30\times0,07$ $=$ $2,1$.
  2. Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
    3. À l'aide de la calculatrice on obtient $P( X < 6) = P( X \leq 5) \approx 0,984$.
  3. Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
    4. À la calculatrice on obtient que $P(X \geq 2) \approx 0,631$ et $P(X \geq 3) \approx 0,351$.
    Ainsi la valeur cherchée pour $k$ est $2$.
    Ceci signifique que pour que la probabilité d'obtenir au moins deux objets rares est supérieure à $0,5$.
  4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
    Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.
    Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
    5. On note ici $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'objets rares obtenus par le joueur après avoir remporté $N$ défis.
    Pour les mêmes raisons que $X$, on a que $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $0,07$. On cherche donc la valeur de $N$ tel que :
    $P(Y\geq 1)$ $\geq$ $0,95$
    $1-P(Y = 0)$ $\geq$ $0,95$
    $-P(Y = 0)$ $\geq$ $0,95-1$
    $-P(Y = 0)$ $\geq$ $-0,05$
    $P(Y = 0)$ $\leq$ $0,05$
    $0,93^N$ $\leq$ $0,05$.
    Nous savons que $0,93^N$ est le terme général d'une suite géométrie de raison $0,93\in[0\,;1[$ et de premier terme $1>0$. Ainsi cette suite est strictement décroissante et converge vers $0$.
    De plus $0,93^{41}\approx 0,051 > 0,5$ et $0,93^{42}\approx 0,047 < 0,5$, il faut donc que $N=42$.
    On peut donc affirmer qu'à partir de $42$ définis remportés la probabilité que le joueur obtienne au moins un objet rare est supérieure à $0,95$.
8 points Soit $f$ la fonction définie sur $]-1\,; +\infty[$ par $f(x)=\text{e}^{-x}+\dfrac{5}{x+1}-1$.
  1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-1$ et $+\infty$.
    2. Limite en $-1$
    Ici $x$ tend vers $-1^{+}$, donc $x+1$ tend vers $0^{+}$ et donc $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-1}\dfrac{5}{x+1}=+\infty}$.

    On a donc que $\displaystyle{\lim_{x\overset{>}{\rightarrow}-1}f(x)=+\infty}$.

    Limite en $+\infty$
    On a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{e}^{-x}=0}$ et $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{5}{x+1}=0}$.

    Ainsi par somme de limites : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-1}$.
  2. Déterminer, pour tout réel $x$, l'expression algébrique de $f'(x)$.
    3. Pour tout $x\in]-1\,;+\infty[$ on a :
    $f'(x)=-\text{e}^{-x}-\dfrac{5}{(x+1)^2}$.
  3. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $]-1\,; +\infty[$.
    4. Puisque pour tout $x\in]-1\,;+\infty[$, $\text{e}^{-x}>0$ et $(x+1)^2>0$, alors $f'(x)=-\left( \text{e}^{-x}+\dfrac{5}{(x+1)^2}\right) < 0$ et la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-1\,;+\infty[$.
    Le tableau de variations de $f$ est donc :
    $x$ $-1$ $+\infty$ $f'(x)$ interdit $-$ interdit $+\infty$ $f(x)$ interdit décroissante interdit $-1$
  4. Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-1\,; +\infty[$.
    5. Sur l'intervalle $]-1\,; +\infty[$ : Ainsi, d'après le théorème de la bijection l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]-1\,; +\infty[$.
  5. Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ de $\alpha$.
    6. Par balayage à la calculatrice on a :
    $4$ $\leq$ $\alpha$ $\leq$ $5$
    $4$ $\leq$ $\alpha$ $\leq$ $4,1$
    $4,08$ $\leq$ $\alpha$ $\leq$ $4,09$
    $4,085$ $\leq$ $\alpha$ $\leq$ $4,086$ .
    Ainsi, à $10^{-2}$ près, $\alpha \approx 4,09$.     Question bonus (hors barème et difficile) : montrer que $\text{e}^{\alpha}=\dfrac{\alpha+1}{\alpha-4}$. Puisque $\alpha$ est solution de l'équation $f(x)=0$ on a :
    $f(\alpha)$ $=$ $0$
    $\text{e}^{-\alpha}+\dfrac{5}{\alpha+1}-1$ $=$ $0$
    $\text{e}^{-\alpha}$ $=$ $-\dfrac{5}{\alpha+1}+1$
    $\text{e}^{-\alpha}$ $=$ $-\dfrac{5}{\alpha+1}+\dfrac{\alpha+1}{\alpha+1}$
    $\text{e}^{-\alpha}$ $=$ $\dfrac{-5+\alpha+1}{\alpha+1}$
    $\text{e}^{-\alpha}$ $=$ $\dfrac{\alpha-4}{\alpha+1}$
    $\dfrac{1}{\text{e}^{\alpha}}$ $=$ $\dfrac{\alpha-4}{\alpha+1}$
    $\text{e}^{\alpha}$ $=$ $\dfrac{\alpha+1}{\alpha-4}$.
4 points Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $g(x)=x^2+0,1$.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0,4$ et $u_{n+1}=g(u_n)$.
  1. Déterminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
    2. $u_1=g(u_0)$ $=$ $g(0,4)$ $=$ $0,26$.
    $u_2 = g(u_1)$ $=$ $0,167\,6$.
    $u_3 = g(u_2)$ $\approx$ $0,128\,1$.
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$, $0\leq u_{n+1} \leq u_n$.
    3. Initialisation
    On a $u_0=0,4$ et $u_1=0,26$, ainsi : $$0\leq u_1 \leq u_0.$$ L'encadrement est bien vérifié pour $n=0$.

    Hérédité
    On suppose que pour un certain entier $n$ : $$0\leq u_{n+1} \leq u_n.$$ On cherche alors à montrer : $$0\leq u_{n+2} \leq u_{n+1}.$$ On remarque tout d'abord que la fonction $g$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ car sa fonction dérivée $g'(x)=2x$ est positive sur cet intervalle.
    Par ailleurs, d'après l'hypothèse de récurrence on a :
    $0$ $\leq$ $u_{n+1}$ $\leq$ $u_{n}$
    $g(0)$ $\leq$ $g(u_{n+1})$ $\leq$ $g(u_{n})$ car $g$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$
    $0,26$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $u_{n+1}$
    $0$ $\leq$ $u_{n+2}$ $\leq$ $u_{n+1}$ car $0 < 0,26$.
    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ on a : $$0\leq u_{n+1} \leq u_n.$$
  3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
    4. D'après la question précédente on a que pour tout entier $n$, $0\leq u_n$, donc la suite $(u_n)$ est minorée par $0$, et puisque pour tout entier $u_{n+1} \leq u_n$, elle est également décroissante.
    Ainsi $(u_n)$ étant décroissante et minorée, elle est convergente.
  4. Déterminer la valeur exacte de $\ell$.
    5. La suite $(u_n)$ étant convergente et étant définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=g(u_n)$ avec $g$ continue sur $\mathbb{R}$, alors sa limite $\ell$ est solution de l'équation $g(x)=x$.
    Résolvons cette équation :
    $g(x)$ $=$ $x$
    $x^2+0,1$ $=$ $x$
    $x^2-x+0,1$ $=$ $0$.
    En notant $\Delta$ le discriminant associé à cette équation on a :
    $\Delta = (-1)^2-4\times0,1$ $=$ $0,6 > 0$.
    Les deux solutions de cette équations sont donc :
    $x_1=\dfrac{1-\sqrt{0,6}}{2}$ $=$ $\dfrac{5-\sqrt{15}}{10}$ $\approx$ $0,11$ ;
    et
    $x_2=\dfrac{1+\sqrt{0,6}}{2}$ $=$ $\dfrac{5+\sqrt{15}}{10}$ $\approx$ $0,89$.

    On a que $u_0=0,4$ et que la suite $(u_n)$ est décroissante donc la seule limite possible est $x_1$ et ainsi : $$\ell = \dfrac{5-\sqrt{15}}{10}.$$