Épreuve de mathématiques Terminale Générale ∼ DST n°9 Dans une usine trois chaines de production fabrique des clés usb. On s'intéresse au nombre de clés usb non conformes produites par chacune de ces chaines à la fin d'une journée.
On note $X_1$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clés usb non conformes produites par la chaine n°1 à la fin d'une journée, $X_2$ pour la chaine n°2 et $X_3$ pour la dernière.

• $X_1$ suit la loi binomiale de paramètres $1\,000$ et $0,03$
• $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $700$ et $0,02$
• $X_3$ suit la loi binomiale de paramètres $500$ et $0,042$

On estime que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes.

Les résultats seront, si nécessaire, arrrondis à $10^{-3}$.

1. Déterminer les valeurs de l'espérance et de la variance de chacune des variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$.
L'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $n\times p$ et sa variance $n\times p\times(1_p)$. Ainsi :
• $\text{E}(X_1)=1\,000\times 0,03$ $=$ $30$ et $\text{V}(X_1)=1\,000\times0,03 \times 0,97$ $=$ $29,1$.
• $\text{E}(X_2)=700\times 0,02$ $=$ $14$ et $\text{V}(X_2)=700\times0,02 \times 0,98$ $=$ $13,72$.
• $\text{E}(X_3)=500\times 0,042$ $=$ $21$ et $\text{V}(X_3)=500\times0,042 \times 0,958$ $=$ $20,118$.
2. Montrer que la probabilité que sur chacune des trois chaines, le nombre de clé usb non conformes à la fin d'une journée soit inférieur à $20$ est d'envirron $0,015$.
   Remarque : on s'intéresse ici aux événements : $\{ X_1 \leq 20 \}$, $\{ X_2 \leq 20 \}$ et $\{ X_3 \leq 20 \}$.
On cherche ici $P\left(\{ X_1 \leq 20 \} \cap \{ X_2 \leq 20 \} \cap \{ X_3 \leq 20 \} \right)$.

On les variables aléatoires sont indépendantes, donc :

$P\left(\{ X_1 \leq 20 \} \cap \{ X_2 \leq 20 \} \cap \{ X_3 \leq 20 \} \right)$ $=$ $P\left(\{ X_1 \leq 20 \}\right)$ $\times$ $P\left(\{ X_2 \leq 20 \}\right)$ $\times$ $P\left(\{ X_3 \leq 20 \} \right)$.

On calcule les trois dernières probabilités à la calculatrice et on obtient bien :

$P\left(\{ X_1 \leq 20 \} \cap \{ X_2 \leq 20 \} \cap \{ X_3 \leq 20 \} \right)$ $\approx$ $0,015$.
3. On définit la variable aléatoire $S$ par $S=X_1+X_2+X_3$.
   1. Que représente $S$ dans le contexte de l'exercice ?
   $S$ représente le nombre total de clés usb non conformes sur l'ensemble des trois chaînes de production.
   2. Calculer $\text{E}(S)$ et $\text{V}(S)$.
   $\text{E}(S) =$ $\text{E}(X_1+X_2+X_3)$ $=$ $\text{E}(X_1)+\text{E}(X_2)+\text{E}(X_3)$ $=$ $65$.
   
   De même, puisque les variables aléatoires sont indépendantes :
   
   $\text{V}(S) =$ $\text{V}(X_1+X_2+X_3)$ $=$ $\text{V}(X_1)+\text{V}(X_2)+\text{V}(X_3)$ $=$ $62,938$.
   3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total de clés usb non conformes sur une journée soit strictement compris entre $55$ et $75$ est supérieure à $0,37$.
   On cherche ici : $P\left( 55 < S < 75\right)$. Or :
   
   $P\left( 55 < S < 75\right)$ $=$ $P\left( |S -65 | < 10\right)$ $=$ $1-P\left( |S -65 | \geq 10\right)$ $=$ $1-P\left( |S - \text{E}(S) | \geq 10\right)$.
   
   D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev on a : $P\left( |S - \text{E}(S) | \geq 10\right)$ $\leq$ $\dfrac{\text{V}(S)}{10^2}$ $\leq$ $0,629 \,38$.
   
   Ainsi :
   
   $P\left( 55 < S < 75\right)$ $=$ $1-P\left( |S - \text{E}(S) | \geq 10\right)$ $\geq$ $1-0,629 \,38$ $\geq$ $0,370\,62$ $\geq$ $0,37$.

1. Résoudre sur l'intervalle $]-\pi\,;\pi]$ l'équation : $$\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$
       $\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

ssi   $3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$ $[2\pi]$     ou     $3x-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{4}$ $[2\pi]$

ssi   $3x=\dfrac{4\pi}{4}$ $[2\pi]$     ou     $3x=-\dfrac{2\pi}{4}$ $[2\pi]$

ssi   $3x=\pi$ $[2\pi]$     ou     $3x=-\dfrac{\pi}{2}$ $[2\pi]$

ssi   $x=\dfrac{\pi}{3}$ $\left[\dfrac{2\pi}{3}\right]$     ou     $x=-\dfrac{\pi}{6}$ $\left[\dfrac{2\pi}{3}\right]$

ssi   $x=-\dfrac{\pi}{3}$ , $x=\dfrac{\pi}{3}$, $x=\pi$, $x=-\dfrac{5\pi}{6}$, $x=-\dfrac{\pi}{6}$, $x=\dfrac{\pi}{2}$ (sur l'intervalle $]-\pi\,;\pi]$).

Remarque : on part de $\dfrac{\pi}{3}$ et de $-\dfrac{\pi}{6}$ et on « avance » ou « recule » de $\dfrac{2\pi}{3}$ tant qu'on est dans $[-\pi\,;\pi]$.
2. Résoudre sur l'intervalle $]-\pi\,;\pi]$ l'inéquation : $$(\cos(x)+3)\left(\sin(x)-\dfrac{1}{2}\right)>0.$$
Puisque, pour tout réel $x$, $\cos(x)\in[-1\,;1]$ alors $(\cos(x)+3)\in[2\,;4]$, donc ce facteur est strictement positif.

Ainsi résoudre l'inéquation revient à résoudre : $$\sin(x)-\dfrac{1}{2} > 0.$$ On cherche donc l'ensemble des valeurs de $x$ dans $[-\pi\,;\pi]$ telles que : $$\sin(x) > \dfrac{1}{2}.$$ À partir du cercle trigonométrique on a que les solutions sont donc : $$\left]\dfrac{\pi}{3}\,; \dfrac{2\pi}{3} \right[.$$