Épreuve de mathématiques ∼ Terminale Générale
Devoir commun n°2 Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\text{e}^{-x}(x^2+1)-5x+1$.
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan et $T$ sa tangente au point d'abscisse $0$.
  1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    2. Limite en $-\infty$
    On a $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}\text{e}^{-x}=+\infty}$, $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}x^2=+\infty}$ et $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}-5x=+\infty}$.

    Ainsi, par somme et produit de limites : $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty}$.

    Limite en $+\infty$
    Pour tout réel $x$ on a :
    $f(x)=\text{e}^{-x}(x^2+1)-5x+1$ $=$ $\text{e}^{-x}\times x^2+\text{e}^{-x}-5x+1$ $=$ $\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}}+\text{e}^{-x}-5x+1$.

    Par croissances comparées on a : $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^{x}} }$ $=$ $0$.

    De plus, $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\text{e}^{-x} }$ $=$ $0$ et $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}-5x+1 }$ $=$ $-\infty$.

    Ainsi, par somme de limites : $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty}$.
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=-\text{e}^{-x}(x-1)^2-5$.
    3. $f$ est de la forme $u\times v +w$, avec : Ainsi, pour tout réel $x$ :
    $f'(x)$ $=$ $u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+w'(x)$
    $=$ $-\text{e}^{-x}(x^2+1)+\text{e}^{-x}\times 2x-5$
    $=$ $\text{e}^{-x}(-(x^2+1)+2x)-5$
    $=$ $\text{e}^{-x}(-x^2-1+2x)-5$
    $=$ $-\text{e}^{-x}(x^2+1-2x)-5$
    $=$ $-\text{e}^{-x}(x-1)^2-5$.
  3. Montrer qu'une équation réduite de $T$ est $y=-6x+2$.
    4. On remarque tout d'abord que :
    $f'(0)=-\text{e}^{0}(0-1)^2-5$ $=$ $-1-5$ $=$ $-6$,
    et $f(0)=\text{e}^{0}(0+1)-0+1$ $=$ $2$.

    Ainsi, l'équation réduite de $T$ est :
    $y$ $=$ $f'(0)(x-0)+f(0)$
    ssi $y$ $=$ $-6(x-0)+2$
    ssi $y$ $=$ $-6x+2$.
  4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    5. Pour tout réel $x$ on a :
    $-\text{e}^{-x}<0$ ; $(x-1)^2\geq 0$ et $-5<0$.
    Ainsi, $f'(x)=-\text{e}^{-x}(x-1)^2-5$ $< 0$.

    On a alors le tableau de variations suivant :
  5. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
    6. Sur $\mathbb{R}$ : Ainsi, d'après le théorème de la bijection l'éqation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
  6. Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ de $\alpha$.
    7. Par balayage à la calculatrice on a :
    $0$ $<$ $\alpha$ $<$ $1$
    $0,3$ $<$ $\alpha$ $<$ $0,4$
    $0,35$ $<$ $\alpha$ $<$ $0,36$
    $0,357$ $<$ $\alpha$ $<$ $0,358$.
  7. Un logiciel de calcul formel nous permet d'obtenir les résultats suivants :
    > Factoriser(Dériver(Dériver(exp(-x)*(x^2+1)-5x+1)))
    >> exp(-x)*(x-3)*(x-1)
    En exploitant cette information, déterminer la convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    8. Le logiciel de calcul formel nous permet de voir que pour tout réel $x$ :
    $f''(x)=\text{e}^{-x}(x-3)(x-1)$.
    Puisque pour tout $x$, $\text{e}^{-x} > 0$, alors $f''(x)$ est du signe du polynôme du second degré $(x-3)(x-1)$ qui s'annule en $1$ et $3$.
    On a alors le tableau de signes suivant pour $f''(x)$ :
    $x$ $-\infty$ $1$ $3$ $+\infty$ $f''(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$
    On peut alors conclure que $f$ est convexe sur $]-\infty\,;1]$, concave sur $[1\,;3]$ et convexe sur $[3\,;+\infty[$.
  8. Déduire des questions précédentes, que pour tout réel $x\in[3\,;+\infty[$ : $$\text{e}^{-x} \geq \dfrac{1-x}{x^2+1}.$$
    9. Puisque $f$ est convexe sur $[3\,;+\infty[$ sa courbe représentative est au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle, en particulier au dessus de $T$.
    Ainsi, pour tout réel $x$ :
    $f(x)$ $\geq$ $-6x+2$
    ssi $f(x)$ $\geq$ $-6x+2$
    ssi $\text{e}^{-x}(x^2+1)-5x+1$ $\geq$ $-6x+2$
    ssi $\text{e}^{-x}(x^2+1)$ $\geq$ $-6x+2+5x-1$
    ssi $\text{e}^{-x}(x^2+1)$ $\geq$ $-x+1$
    ssi $\text{e}^{-x}(x^2+1)$ $\geq$ $1-x$
    ssi $\text{e}^{-x}$ $\geq$ $\dfrac{1-x}{x^2+1}$ car $x^2+1>0$.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fasse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
  1. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$.
    On admet que pour tout entier $n$ : $1\leq u_{n+1} \leq u_n$.

    Affirmation 1
    Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=\sqrt{u_n}(1-\sqrt{u_n})$. Pour tout entier $n$ :
    $u_{n+1}-u_n$ $=$ $\sqrt{u_n}-u_n$
    $=$ $\sqrt{u_n}-\left(\sqrt{u_n}\right)^2$
    $=$ $\sqrt{u_n}\left(1-\sqrt{u_n}\right)$.
    L'affirmation est donc vraie.     Affirmation 2
    La suite $(u_n)$ est convergente et sa limite est solution de l'équation $x^2=x$. Pour tout entier $n$, $1\leq u_{n+1} \leq u_n$.
    Ainsi, la suite $(u_n)$ est décroissante et est minorée par $1$. Elle est donc convergente.

    En posant pour tout réel $x\geq0$, $g(x)=\sqrt{x}$, on a que pour tout entier $n$, $u_{n+1}=g(u_n)$. Puisque $g$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ (fonction racine carrée), on a alors que la suite $(u_n)$ converge vers une solution de l'équation : $$g(x)=x.$$ C'est-à-dire que la limite de $(u_n)$ est solution de :
    $\sqrt{x}$ $=$ $x$
    ssi $(\sqrt{x})^2$ $=$ $x^2$ car la fonction carrée est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$
    ssi $x$ $=$ $x^2$.
    L'affirmation est donc vraie.

    Remarque : cette équation possède en faite deux solutions $0$ et $1$, mais puisque la suite est minorée par $1$ sa limite est donc $1$.
  2. L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(0\,;\vec{i}\,,\vec{j}\,,\vec{k}\right)$.
    On considère les points $A(-2\,;-2\,;-7)$, $B(3\,;0\,;-3)$, $C(1\,;-1\,;4)$ et le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $$5x+3y-3z-6=0.$$

    Affirmation 3
    Le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr{P}$ est le point $H(3\,;1\,;4)$. Regardons tout d'abord si $H$ appartient à $\mathscr{P}$ en injectant ses coordonnées dans l'équation cartésienne :

    $5x_H+3y_H-3z_H+6 =$ $5\times3+3\times1-3\times4-6$ $=$ $0$.

    $H$ est bien un point de $\mathscr{P}$.

    Regardons maintenant si $\overrightarrow{AH}$ $\begin{pmatrix} x_H-x_A \\\ y_H-y_A \\\ z_H-z_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}5 \\\ 3 \\\ 11 \end{pmatrix}$ est orthogonal au plan.

    D'après l'équation cartésienne donnée, le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}5 \\\ 3 \\\ -3 \end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathscr{P}$.
    On remarque $x_{\overrightarrow{AH}} = x_{\vec{n}}$ mais $z_{\overrightarrow{AH}} \neq z_{\vec{n}}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires et donc $\overrightarrow{AH}$ n'est pas orthogonal au plan $\mathscr{P}$.
    Le point $H$ ne peut pas être le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr{P}$.
    L'affirmation est fausse.     Affirmation 4
    Une valeur approchée à $10^{-1}$ de la mesure de l'angle géométrique $\widehat{BAC}$, en degrés, est $20,5^{\circ}$.
    3. On a :
    $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_B-x_A \\\ y_B-y_A \\\ z_B-z_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 5 \\\ 2 \\\ 4 \end{pmatrix}$ et donc $AB =$ $\sqrt{5^2+2^2+4^2}$ $=$ $\sqrt{45}$ $=$ $3\sqrt{5}$.

    $\overrightarrow{AC}$ $=$ $\begin{pmatrix} x_C-x_A \\\ y_C-y_A \\\ z_C-z_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 3 \\\ 1 \\\ 11 \end{pmatrix}$ et $AC =$ $\sqrt{3^2+1^2+11^2}$ $=$ $\sqrt{131}$.

    La formule du produit scalaire nous donne :
    $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ $=$ $AB\times AC \times \cos\left( \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}\right)$
    $5\times3+2\times1+4\times11$ $=$ $3\sqrt{5}\times \sqrt{131} \times \cos\left( \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}\right)$
    $61$ $=$ $3\sqrt{655}\cos\left( \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}\right)$
    $\cos\left( \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}\right)$ $=$ $\dfrac{61}{3\sqrt{655}}$

    À l'aide de la fonction $\arccos$ on obtient $\widehat{BAC}\approx 37,4^{\circ}$.

    l'affirmation est donc fausse.