Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°1
  1. Écrire sous la forme $a+b\sqrt{c}$, avec $a$ et $b$ et $c\in\mathbb{Z}$, le nombre ci-dessous :
    2. $A$ $=$ $10\sqrt{28}-\sqrt{175}+2\sqrt{63}$
    $=$ $10\sqrt{4\times7}-\sqrt{25\times7}+2\sqrt{9\times7}$
    $=$ $10\sqrt{4}\times\sqrt{7}-\sqrt{25}\times\sqrt{7}+2\sqrt{9}\times\sqrt{7}$
    $=$ $10\times2\sqrt{7}-5\sqrt{7}+2\times3\sqrt{7}$
    $=$ $20\sqrt{7}-5\sqrt{7}+6\sqrt{7}$
    $=$ $21\sqrt{7}$.

    Remarque : $A$ est de la forme $a+b\sqrt{c}$ avec $a=0$, $b=21$ et $c=7$.
  2. Montrer que pour tous rées $x$ et $y$ on a : $$(2x-y)^2-(x+2y)^2 = 3x^2-8xy-3y^2.$$
    3. On utilise ici les identitités remarquables : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ et $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Pour tous réels $x$ et $y$ on a :
    $(2x-y)^2-(x+2y)^2$ $=$ $4x^2-4xy+y^2-\left( x^2+4xy+4y^2 \right)$
    $=$ $4x^2-4xy+y^2- x^2-4xy-4y^2$
    $=$ $3x^2-8xy-3y^2$.
  3. Simplifier l'expression $B=\left( \dfrac{\text{e}^{1\,990}\times\text{e}^{3}}{\text{e}^{1\,980}} \right)^2$.
    4. On utilise les formules sur les puissances.
    $B$ $=$ $\left( \dfrac{\text{e}^{1\,990}\times\text{e}^{3}}{\text{e}^{1\,980}} \right)^2$
    $=$ $\left( \dfrac{\text{e}^{1\,990+3}}{\text{e}^{1\,980}} \right)^2$
    $=$ $\left( \dfrac{\text{e}^{1\,993}}{\text{e}^{1\,980}} \right)^2$
    $=$ $\left(\text{e}^{1\,993-1\,980} \right)^2$
    $=$ $\left(\text{e}^{13} \right)^2$
    $=$ $\text{e}^{2\times 13}$
    $=$ $\text{e}^{26}$.
  4. Dresser le tableau de signes du polynôme $P$ défini sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=2x^2-4x-30$.
    5. Pour comprendre cette correction il est nécessaire de connaître son cours de première sur le second degré. Cliquer sur le lien suivant pour le réviser :
    Fiche second degré

    On calcule tout d'abord le discriminant $\Delta$ du polynôme $P$ :
    $\Delta = (-4)^2-4\times2\times(-30)$ $=$ $256 > 0$.

    Ce polynôme possède donc deux racines distinctes :

    $x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt{256}}{2\times2}$ $=$ $\dfrac{4-16}{4}$ $=$ $-3$.

    $x_1=\dfrac{-(-4)+\sqrt{256}}{2\times2}$ $=$ $\dfrac{4+16}{4}$ $=$ $5$.

    On a donc le tableau de signes suivant :

    $x$ $-\infty$ $-3$ $5$ $+\infty$ $P(x)$ $+$ 0 $-$ 0 $+$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 50$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} = 0,9u_n + 30.$$
  1. Calculer $u_1$ et vérifier que $u_2 = 97,5$.
    2. $u_1=0,9\times u_0+30$ $=$ $0,9\times50+30$ $=$ $75$.
    $u_2=0,9\times u_1+30$ $=$ $0,9\times75+30$ $=$ $97,5$.
  2. Après exécution l'algorithme ci-dessous affiche la valeur $53$. Interpréter ce résultat.
    3. n = 0 u = 50 while u <= 299: n = n+1 u = 0.9*u+30 print(n) L'algorithme calcule par récurrence les termes de la suites $(u_n)$ jusqu'à ce qu'on en obtienne un qui dépasse 299 et affiche le rang de ce dernier.
    Ainsi, s'il affiche $53$ c'est que $u_{53}$ est le premier terme de la suite $(u_n)$ a être strictement supérieur à $299$.
  3. Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par: $v_n = u_n - 300$.
    1. Calculer $v_0$.
      2. $v_0 = u_0-300$ $=$ $50-300$ $=$ $-250$.
    2. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison égale à $0,9$.
      3. Pour tout entier $n$ on a :
      $v_{n+1}$ $=$ $u_{n+1}-300$
      $=$ $0,9u_n+30-300$
      $=$ $0,9u_n-270$
      $=$ $0,9\left(u_n-\dfrac{270}{0,9}\right)$
      $=$ $0,9\left(u_n-300\right)$
      $=$ $0,9v_n$.
      Ainsi, par définition, la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,9$.
    3. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = 300 - 250 \times 0,9^n.$$
      4. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,9$ et de premier $v_0=-250$, ainsi, pour tout entier $n$ :

      $v_n=v_0\times0,9^n$ $=$ $-250\times0,9^n$.

      Par ailleurs, pour tout entier $n$ on a $v_n=u_n-300$ donc $u_n=v_n+300$.

      On a donc, en remplaçant $v_n$ par son expression algébrique :

      $u_n=-250\times0,9^n+300$ $=$ $300-250\times0,9^n$.
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
  1. $f(x)=2x^3-7x^2+x-13$.
    2. $f'(x)=2\times3x^2-7\times2x+1-0$ $=$ $6x^2-14x+1$.
  2. $g(x)=\text{e}^{3-7x}$.
    3. $g'(x)=-7\text{e}^{3-7x}$.
  3. $h(x)=\dfrac{1-4x}{2x+5}$.
    4. $h$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
    $u(x)=1-4x$ et $u'(x)=-4$
    $v(x)=2x+5$ et $v'(x)=2$.

    Ainsi, on a :
    $h'(x)$ $=$ $\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$
    $=$ $\dfrac{-4(2x+5)-2(1-4x)}{(2x+5)^2}$
    $=$ $\dfrac{-8x-20-2+8x}{(2x+5)^2}$
    $=$ $\dfrac{-22}{(2x+5)^2}$.
Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiple. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapportera 1 point.
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées (a, b, c ou d) est correcte.
La lettre correspondant à la réponse choisie sera recopiée sur votre copie avec le numéro de la question.

Un food truck, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules : la formule Burger et la formule Wok. Le gérant a remarqué que $75$ % de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule Burger, alors que $40$ % des ventes du soir correspondent à la formule Wok.
En fonction du midi ou du soir les prix pratiqués sont les suivants : Le gérant se constitue un fichier en complétant une fiche pour pour chaque vente avec la formule choisie, le montant dépensé pour cette formule et le moment de cette vente (midi ou soir).
On prélève une fiche au hasard de ce fichier et on définit les quatre évènements suivants : On considère par ailleurs l'arbre de probabilité incomplet ci-dessous qui illustre la situation.
On note $X$ la variable aléatoire représentant la somme dépensée pour une seule formule. Pour tout montant $m$ (exprimé en euros) on note $P(X=m)$ la probabilité qu'un client dépense ce montant. On représente la loi de probabilité de $X$ par le tableau incomplet suivant :
Montant $m$ dépensé par le client (en €) $10$ $12$ $15$
$P(X=m)$ $0,187\,5$ $\dots$ $\dots$
On pourra compléter l'arbre, puis le tableau pour répondre aux questions du QCM ci-dessous. On complète l'arbre de probabilité directement à l'aide des données de l'énoncé :
  1. La valeur de $P(S)$ est :
    1. $\dfrac{75}{100}$

    2. $0,15$

    3. $0,25$

    4. $0,187\,5$
    2. D'après l'arbre $P(S)=0,25$.

    Réponse c.
  2. La probabilité que la fiche client choisie au hasard comporte un montant de $15$ € est de :
    1. $0,1$
    2. $0,187\,5$
    3. $0,40$
    4. $0,65$
    3. Seule une commande du soir avec une formule Wok contient un montant de $15$ €. On cherche donc la probabilité $P(S\cap W)$.
    D'après l'arbre on a : $P(S\cap W) = P(S)\times P_S(W)$ $=$ $0,25\times0,4$ $=$ $0,1$.

    Réponse a.
  3. Quelle est la probabilité qu'une fiche soit celle d'une formule Wok ?
    1. $0,187\,5$
    2. $0,25$
    3. $0,662\,5$
    4. $1,15$
    4. D'après la formule des probabilités totales on a :

    $P(W)=P(M\cap W)+P(S\cap W)$ $=$ $0,75\times0,75+0,25\times0,4$ $=$ $0,662\,5$.

    Réponse c.
  4. On a prélevé une fiche correspondant à la formule Burger. Quelle est la probabilité que la vente ait eu lieu le soir ?
    1. $0,444$
    2. $\dfrac{4}{9}$
    3. $0,187\,5$
    4. $\dfrac{1}{3}$
    On cherche ici $P_B(S)$.

    On a : $P_B(S)=\dfrac{P(S\cap B)}{P(B)}$ $=$ $\dfrac{0,25\times0,6}{1-0,6625}$ $=$ $\dfrac{0,15}{0,337\,5}$ $=$ $\dfrac{4}{9}$.

    Réponse b.

    Remarque : Pour calculer $P(B)$ on aurait pu utiliser à nouveau la formule des probabilités totales, mais il était plus rapide de remarquer que $B$ est l'évènement contraire de $W$.
    Ainsi puisque $P(W)=0,662\,5$ on a directement que $P(B)=1-P(W)$ $=$ $1-0,662\,5$ $=$ $0,337\,5$.
  5. La valeur de l'espérance de $X$ (la somme moyenne dépensée par un client) est d'environ (à 1 centime près):
    1. $11,93$ €
    2. $12$ €
    3. $12,33$ €
    4. $13,50$ €
    6. Il nous faut ici tout d'abord remplir le tableau de la loi de probabilité de $X$.
    Grâce à la question 2 on sait que la valeur de la dernière colonne est $0,1$. Pour trouver la valeur manquante il suffit de se rappeler que la somme des probabilités vaut $1$ et on trouve $1-0,187\,5-0,1$ $=$ $0,712\,5$.
    Montant $m$ dépensé par le client (en €) $10$ $12$ $15$
    $P(X=m)$ $0,187\,5$ $0,712\,5$ $0,1$
    Par définition on trouve alors que l'espérance de $X$ vaut :
    $E(X)=0,187\,5\times10+0,712\,5\times12+0,1\times15$ $=$ $11,925$ $\approx$ $11,93$ €.

    Réponse a.