Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°1 Exercice 1
  1. Écrire sous la forme a+bca+b\sqrt{c}, avec aa et bb et c∈Zc\in\mathbb{Z}, le nombre ci-dessous :
    2. Correction
    AA == 1028−175+26310\sqrt{28}-\sqrt{175}+2\sqrt{63}
    == 104×7−25×7+29×710\sqrt{4\times7}-\sqrt{25\times7}+2\sqrt{9\times7}
    == 104×7−25×7+29×710\sqrt{4}\times\sqrt{7}-\sqrt{25}\times\sqrt{7}+2\sqrt{9}\times\sqrt{7}
    == 10×27−57+2×3710\times2\sqrt{7}-5\sqrt{7}+2\times3\sqrt{7}
    == 207−57+6720\sqrt{7}-5\sqrt{7}+6\sqrt{7}
    == 21721\sqrt{7}.

    Remarque : AA est de la forme a+bca+b\sqrt{c} avec a=0a=0, b=21b=21 et c=7c=7.
    ✕
  2. Montrer que pour tous rées xx et yy on a : (2x−y)2−(x+2y)2=3x2−8xy−3y2.(2x-y)^2-(x+2y)^2 = 3x^2-8xy-3y^2.
    3. Correction
    On utilise ici les identitités remarquables : (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 et (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.

    Pour tous réels xx et yy on a :
    (2x−y)2−(x+2y)2(2x-y)^2-(x+2y)^2 == 4x2−4xy+y2−(x2+4xy+4y2)4x^2-4xy+y^2-\left( x^2+4xy+4y^2 \right)
    == 4x2−4xy+y2−x2−4xy−4y24x^2-4xy+y^2- x^2-4xy-4y^2
    == 3x2−8xy−3y23x^2-8xy-3y^2.
    ✕
  3. Simplifier l'expression B=(e1990×e3e1980)2B=\left( \dfrac{\text{e}^{1\,990}\times\text{e}^{3}}{\text{e}^{1\,980}} \right)^2.
    4. Correction
    On utilise les formules sur les puissances.
    BB == (e1990×e3e1980)2\left( \dfrac{\text{e}^{1\,990}\times\text{e}^{3}}{\text{e}^{1\,980}} \right)^2
    == (e1990+3e1980)2\left( \dfrac{\text{e}^{1\,990+3}}{\text{e}^{1\,980}} \right)^2
    == (e1993e1980)2\left( \dfrac{\text{e}^{1\,993}}{\text{e}^{1\,980}} \right)^2
    == (e1993−1980)2\left(\text{e}^{1\,993-1\,980} \right)^2
    == (e13)2\left(\text{e}^{13} \right)^2
    == e2×13\text{e}^{2\times 13}
    == e26\text{e}^{26}.
    ✕
  4. Dresser le tableau de signes du polynôme PP défini sur R\mathbb{R} par P(x)=2x2−4x−30P(x)=2x^2-4x-30.
    5. Correction
    Pour comprendre cette correction il est nécessaire de connaître son cours de première sur le second degré. Cliquer sur le lien suivant pour le réviser :
    Fiche second degré

    On calcule tout d'abord le discriminant Δ\Delta du polynôme PP :
    Δ=(−4)2−4×2×(−30)\Delta = (-4)^2-4\times2\times(-30) == 256>0256 > 0.

    Ce polynôme possède donc deux racines distinctes :

    x1=−(−4)−2562×2x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt{256}}{2\times2} == 4−164\dfrac{4-16}{4} == −3-3.

    x1=−(−4)+2562×2x_1=\dfrac{-(-4)+\sqrt{256}}{2\times2} == 4+164\dfrac{4+16}{4} == 55.

    On a donc le tableau de signes suivant :

    xx −∞-\infty −3-3 55 +∞+\infty P(x)P(x) ++ 0 −- 0 ++
    xx−∞-\infty−3-355+∞+\infty
    P(x)P(x)++0−-0++
    ✕
Exercice 2 On considère la suite (un)\left(u_n\right) définie par u0=50u_0 = 50 et pour tout entier naturel nn : un+1=0,9un+30.u_{n+1} = 0,9u_n + 30.
  1. Calculer u1u_1 et vérifier que u2=97,5u_2 = 97,5.
    2. Correction
    u1=0,9×u0+30u_1=0,9\times u_0+30 == 0,9×50+300,9\times50+30 == 7575.
    u2=0,9×u1+30u_2=0,9\times u_1+30 == 0,9×75+300,9\times75+30 == 97,597,5.
    ✕
  2. Après exécution l'algorithme ci-dessous affiche la valeur 5353. Interpréter ce résultat.
    3. Correction
    L'algorithme calcule par récurrence les termes de la suites (un)(u_n) jusqu'à ce qu'on en obtienne un qui dépasse 299 et affiche le rang de ce dernier.
    Ainsi, s'il affiche 5353 c'est que u53u_{53} est le premier terme de la suite (un)(u_n) a être strictement supérieur à 299299.
    ✕
  3. Pour tout entier naturel nn, on considère la suite (vn)\left(v_n\right) définie par: vn=un−300v_n = u_n - 300.
    1. Calculer v0v_0.
      2. Correction
      v0=u0−300v_0 = u_0-300 == 50−30050-300 == −250-250.
      ✕
    2. Démontrer que la suite (vn)\left(v_n\right) est géométrique de raison égale à 0,90,9.
      3. Correction
      Pour tout entier nn on a :
      vn+1v_{n+1} == un+1−300u_{n+1}-300
      == 0,9un+30−3000,9u_n+30-300
      == 0,9un−2700,9u_n-270
      == 0,9(un−2700,9)0,9\left(u_n-\dfrac{270}{0,9}\right)
      == 0,9(un−300)0,9\left(u_n-300\right)
      == 0,9vn0,9v_n.
      Ainsi, par définition, la suite (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,90,9.
      ✕
    3. En déduire que pour tout entier naturel nn : un=300−250×0,9n.u_n = 300 - 250 \times 0,9^n.
      4. Correction
      La suite (vn)(v_n) est géométrique de raison 0,90,9 et de premier v0=−250v_0=-250, ainsi, pour tout entier nn :

      vn=v0×0,9nv_n=v_0\times0,9^n == −250×0,9n-250\times0,9^n.

      Par ailleurs, pour tout entier nn on a vn=un−300v_n=u_n-300 donc un=vn+300u_n=v_n+300.

      On a donc, en remplaçant vnv_n par son expression algébrique :

      un=−250×0,9n+300u_n=-250\times0,9^n+300 == 300−250×0,9n300-250\times0,9^n.
      ✕
Exercice 3 Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
  1. f(x)=2x3−7x2+x−13f(x)=2x^3-7x^2+x-13.
    2. Correction
    f′(x)=2×3x2−7×2x+1−0f'(x)=2\times3x^2-7\times2x+1-0 == 6x2−14x+16x^2-14x+1.
    ✕
  2. g(x)=e3−7xg(x)=\text{e}^{3-7x}.
    3. Correction
    g′(x)=−7e3−7xg'(x)=-7\text{e}^{3-7x}.
    ✕
  3. h(x)=1−4x2x+5h(x)=\dfrac{1-4x}{2x+5}.
    4. Correction
    hh est de la forme uv\dfrac{u}{v} avec :
    u(x)=1−4xu(x)=1-4x et u′(x)=−4u'(x)=-4
    v(x)=2x+5v(x)=2x+5 et v′(x)=2v'(x)=2.

    Ainsi, on a :
    h′(x)h'(x) == u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}
    == −4(2x+5)−2(1−4x)(2x+5)2\dfrac{-4(2x+5)-2(1-4x)}{(2x+5)^2}
    == −8x−20−2+8x(2x+5)2\dfrac{-8x-20-2+8x}{(2x+5)^2}
    == −22(2x+5)2\dfrac{-22}{(2x+5)^2}.
    ✕
Exercice 4 Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiple. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapportera 1 point.
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées (a, b, c ou d) est correcte.
La lettre correspondant à la réponse choisie sera recopiée sur votre copie avec le numéro de la question.

Un food truck, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules : la formule Burger et la formule Wok. Le gérant a remarqué que 7575 % de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule Burger, alors que 4040 % des ventes du soir correspondent à la formule Wok.
En fonction du midi ou du soir les prix pratiqués sont les suivants : Le gérant se constitue un fichier en complétant une fiche pour pour chaque vente avec la formule choisie, le montant dépensé pour cette formule et le moment de cette vente (midi ou soir).
On prélève une fiche au hasard de ce fichier et on définit les quatre évènements suivants : On considère par ailleurs l'arbre de probabilité incomplet ci-dessous qui illustre la situation.
MM
SS
WW
BB
BB
WW
…\dots
…\dots
…\dots
0,250,25
…\dots
…\dots
On note XX la variable aléatoire représentant la somme dépensée pour une seule formule. Pour tout montant mm (exprimé en euros) on note P(X=m)P(X=m) la probabilité qu'un client dépense ce montant. On représente la loi de probabilité de XX par le tableau incomplet suivant :
Montant mm dépensé par le client (en €) 1010 1212 1515
P(X=m)P(X=m) 0,18750,187\,5 …\dots …\dots
On pourra compléter l'arbre, puis le tableau pour répondre aux questions du QCM ci-dessous.
Correction
On complète l'arbre de probabilité directement à l'aide des données de l'énoncé :
MM
SS
WW
BB
BB
WW
0,750,75
0,250,25
0,750,75
0,250,25
0,40,4
0,60,6
✕
  1. La valeur de P(S)P(S) est :
    1. 75100\dfrac{75}{100}

    2. 0,150,15

    3. 0,250,25

    4. 0,18750,187\,5
    2. Correction
    D'après l'arbre P(S)=0,25P(S)=0,25.

    Réponse c.
    ✕
  2. La probabilité que la fiche client choisie au hasard comporte un montant de 1515 € est de :
    1. 0,10,1
    2. 0,18750,187\,5
    3. 0,400,40
    4. 0,650,65
    3. Correction
    Seule une commande du soir avec une formule Wok contient un montant de 1515 €. On cherche donc la probabilité P(S∩W)P(S\cap W).
    D'après l'arbre on a : P(S∩W)=P(S)×PS(W)P(S\cap W) = P(S)\times P_S(W) == 0,25×0,40,25\times0,4 == 0,10,1.

    Réponse a.
    ✕

  3. Quelle est la probabilité qu'une fiche soit celle d'une formule Wok ?
    1. 0,18750,187\,5
    2. 0,250,25
    3. 0,66250,662\,5
    4. 1,151,15
    4. Correction
    D'après la formule des probabilités totales on a :

    P(W)=P(M∩W)+P(S∩W)P(W)=P(M\cap W)+P(S\cap W) == 0,75×0,75+0,25×0,40,75\times0,75+0,25\times0,4 == 0,66250,662\,5.

    Réponse c.
    ✕

  4. On a prélevé une fiche correspondant à la formule Burger. Quelle est la probabilité que la vente ait eu lieu le soir ?
    1. 0,4440,444
    2. 49\dfrac{4}{9}
    3. 0,18750,187\,5
    4. 13\dfrac{1}{3}
    Correction
    On cherche ici PB(S)P_B(S).

    On a : PB(S)=P(S∩B)P(B)P_B(S)=\dfrac{P(S\cap B)}{P(B)} == 0,25×0,61−0,6625\dfrac{0,25\times0,6}{1-0,6625} == 0,150,3375\dfrac{0,15}{0,337\,5} == 49\dfrac{4}{9}.

    Réponse b.

    Remarque : Pour calculer P(B)P(B) on aurait pu utiliser à nouveau la formule des probabilités totales, mais il était plus rapide de remarquer que BB est l'évènement contraire de WW.
    Ainsi puisque P(W)=0,6625P(W)=0,662\,5 on a directement que P(B)=1−P(W)P(B)=1-P(W) == 1−0,66251-0,662\,5 == 0,33750,337\,5.
    ✕

  5. La valeur de l'espérance de XX (la somme moyenne dépensée par un client) est d'environ (à 1 centime près):
    1. 11,9311,93 €
    2. 1212 €
    3. 12,3312,33 €
    4. 13,5013,50 €
    6. Correction
    Il nous faut ici tout d'abord remplir le tableau de la loi de probabilité de XX.
    Grâce à la question 2 on sait que la valeur de la dernière colonne est 0,10,1. Pour trouver la valeur manquante il suffit de se rappeler que la somme des probabilités vaut 11 et on trouve 1−0,1875−0,11-0,187\,5-0,1 == 0,71250,712\,5.
    Montant mm dépensé par le client (en €) 1010 1212 1515
    P(X=m)P(X=m) 0,18750,187\,5 0,71250,712\,5 0,10,1
    Par définition on trouve alors que l'espérance de XX vaut :
    E(X)=0,1875×10+0,7125×12+0,1×15E(X)=0,187\,5\times10+0,712\,5\times12+0,1\times15 == 11,92511,925 ≈\approx 11,9311,93 €.

    Réponse a.
    ✕